🌟 1.1 正数和负数 同步练习
人教版数学七年级上册
一、 单选题 (1-11)
1．冰箱保鲜室的温度为零上 $6^\circ\text{C}$，记作 $+6^\circ\text{C}$，那么冷冻室的温度为零下 $12^\circ\text{C}$，应记作（ ）
2．如果规定收入为正，支出为负。收入 $500$ 元记作 $+500$ 元，那么支出 $280$ 元应记作（ ）
3．如果零上 $2^\circ\text{C}$ 记作 $+2^\circ\text{C}$，那么零下 $3^\circ\text{C}$ 记作（ ）
4．我国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家。若零上 $20^\circ\text{C}$ 记作 $+20^\circ\text{C}$，则零下 $30^\circ\text{C}$ 可记作（ ）
5．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果零下 $3^\circ\text{C}$ 记作 $-3^\circ\text{C}$，那么 $+5^\circ\text{C}$ 表示（ ）
6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数。若收入 $120$ 元记作 $+120$，则 $-70$ 元表示（ ）
7．如果规定汽车向东行驶 $5\text{千米}$ 记作 $+5\text{千米}$，那么向西行驶 $10\text{千米}$ 记作（ ）
8．在跳远测试中，小明的成绩为 $2.1\text{米}$，记作 $+0.5\text{米}$。若小亮的成绩记作 $-0.2\text{米}$，则小亮的成绩为（ ）
9．一种面粉的质量标识为“$25 \pm 0.25\text{千克}$”，则下列面粉中合格的是（ ）
10．七年级某班的学生共有 $49$ 人，军训时排列成 $7 \times 7$ 的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 $n$ 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则 $m$ 次点名后（$n,m$ 为正整数），下列说法正确的是（ ）
11．七年级某班的学生共有 $49$ 人，军训时排列成 $7 \times 7$ 的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 $n$ 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则 $m$ 次点名后（$n,m$ 为正整数），下列说法正确的是（ ）
二、 填空题 (12-15)
12．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献。若高于海平面 $100\text{米}$ 可记作 $+100\text{米}$，则低于海平面 $75\text{米}$ 可记作 米。
13．如果收入 $15$ 元记作 $+15$ 元，那么支出 $10$ 元记作 元。
14．某检修小组从 $A$ 地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：$\text{km}$）：$+7, -9, +8, -6, -5$，则收工时检修小组共行驶了 $\text{km}$。
15．钟表是指针逆时针方向转 $25^\circ$ 记作 $+25^\circ$，顺时针方向转 $30^\circ$ 记作 。
三、 解答题 (16-22)
16．有10筐苹果，以每筐 $30\text{kg}$ 为标准，超过的质量记做正数，不足的质量记做负数，记录如下（单位：$\text{kg}$）：
$2, -4, 2.5, 3.2, -0.5, 1.5, 3, -1, 0, -2.5$。
(1) 有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？
(2) 哪一筐苹果的质量超过标准质量最多？超过多少？
$2, -4, 2.5, 3.2, -0.5, 1.5, 3, -1, 0, -2.5$。
(1) 有几筐苹果的质量超过标准质量？有几筐苹果的质量不足标准质量？
(2) 哪一筐苹果的质量超过标准质量最多？超过多少？
【参考答案与解析】
(1) 解：记录中正数表示超过标准质量，负数表示不足标准质量。
正数有：$2, 2.5, 3.2, 1.5, 3$，共 $5$ 个，所以有 $5$ 筐苹果超过标准质量；
负数有：$-4, -0.5, -1, -2.5$，共 $4$ 个，所以有 $4$ 筐苹果不足标准质量。
(2) 解：由于 $3.2 > 3 > 2.5 > 2 > 1.5$，
所以第 $4$ 筐苹果的质量超过标准质量最多，超过了 $3.2\text{ kg}$。
(1) 解：记录中正数表示超过标准质量，负数表示不足标准质量。
正数有：$2, 2.5, 3.2, 1.5, 3$，共 $5$ 个，所以有 $5$ 筐苹果超过标准质量；
负数有：$-4, -0.5, -1, -2.5$，共 $4$ 个，所以有 $4$ 筐苹果不足标准质量。
(2) 解：由于 $3.2 > 3 > 2.5 > 2 > 1.5$，
所以第 $4$ 筐苹果的质量超过标准质量最多，超过了 $3.2\text{ kg}$。
17．某超市 2021年上半年的营业额与 2020年同月营业额相比的增长率如下表所示。请根据表格信息回答下列问题：
(1) 该超市 2021年上半年的营业额与 2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？
(2) 2021年 1月和 4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？
(3) 2021年上半年与 2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 比上年同月增长% | -1.8 | 0 | 0.2 | -1.5 | 0.3 | 0.4 |
(2) 2021年 1月和 4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？
(3) 2021年上半年与 2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？
【参考答案与解析】
(1) 解：因为该超市 2021年 3月、5月、6月的营业额增长率分别是正数：$0.2, 0.3, 0.4$。
所以 2021年上半年的营业额与 2020年同月营业额相比，$3, 5, 6$ 月是增长的。
(2) 解：因为该超市 2021年 1月和 4月的营业额增长率是负数 $-1.8, -1.5$。
所以 $-1.8$ 表示 2021年 1月的营业额比上年同月下降了 $1.8\%$；
$-1.5$ 表示 2021年 4月的营业额比上年同月下降了 $1.5\%$。
(3) 解：因为该超市 2021年 2月与 2020年 2月相比，营业额增长率是 $0$，说明营业额没有增长也没有下降。
而 1月和 4月的增长率是负数，表示营业额下降，也没有增长。
所以营业额没有增长的月份是：$1, 2, 4$ 月。
(1) 解：因为该超市 2021年 3月、5月、6月的营业额增长率分别是正数：$0.2, 0.3, 0.4$。
所以 2021年上半年的营业额与 2020年同月营业额相比，$3, 5, 6$ 月是增长的。
(2) 解：因为该超市 2021年 1月和 4月的营业额增长率是负数 $-1.8, -1.5$。
所以 $-1.8$ 表示 2021年 1月的营业额比上年同月下降了 $1.8\%$；
$-1.5$ 表示 2021年 4月的营业额比上年同月下降了 $1.5\%$。
(3) 解：因为该超市 2021年 2月与 2020年 2月相比，营业额增长率是 $0$，说明营业额没有增长也没有下降。
而 1月和 4月的增长率是负数，表示营业额下降，也没有增长。
所以营业额没有增长的月份是：$1, 2, 4$ 月。
18．任意写出两个自然数、两个正数、两个负数。
【参考答案与解析】
解：答案不唯一。参考示例如下：
两个自然数：$0, 1$；
两个正数：$1, 2$；
两个负数：$-1, -2$。
解：答案不唯一。参考示例如下：
两个自然数：$0, 1$；
两个正数：$1, 2$；
两个负数：$-1, -2$。
19．7名学生的体重，以 $48.0\text{千克}$ 为标准体重，把超过标准体重的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，将其体重记录如下表：
(1) 最接近标准体重的学生体重是多少？
(2) 最高体重与最低体重相差多少？
(3) 求 7名学生的平均体重。
(4) 按体重的轻重排列，恰好居中的是哪个学生？
| 学生 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 与标准体重之差 (千克) | -2.8 | +1.7 | +0.8 | -0.5 | -0.2 | +1.2 | +0.5 |
(2) 最高体重与最低体重相差多少？
(3) 求 7名学生的平均体重。
(4) 按体重的轻重排列，恰好居中的是哪个学生？
【参考答案与解析】
(1) 解：最接近标准体重的，即差值的绝对值最小。$|-0.2| = 0.2$ 为最小。
所以该生体重为：$48.0 - 0.2 =$ $47.8$ 千克。
(2) 解：差值中最大的是 $+1.7$，最小的是 $-2.8$。
相差：$1.7 - (-2.8) =$ $4.5$ 千克。
(3) 解：求出所有差值的平均数，再加标准体重：
平均差值 $= \frac{-2.8 + 1.7 + 0.8 - 0.5 - 0.2 + 1.2 + 0.5}{7} = \frac{0.7}{7} = 0.1\text{千克}$。
平均体重 $= 48.0 + 0.1 =$ $48.1$ 千克。
(4) 解：将差值从大到小（或从小到大）排列：
$+1.7, +1.2, +0.8, +0.5, -0.2, -0.5, -2.8$。
排在正中间（第四位）的差值是 $+0.5$，对应的学生是：7号学生。
(1) 解：最接近标准体重的，即差值的绝对值最小。$|-0.2| = 0.2$ 为最小。
所以该生体重为：$48.0 - 0.2 =$ $47.8$ 千克。
(2) 解：差值中最大的是 $+1.7$，最小的是 $-2.8$。
相差：$1.7 - (-2.8) =$ $4.5$ 千克。
(3) 解：求出所有差值的平均数，再加标准体重：
平均差值 $= \frac{-2.8 + 1.7 + 0.8 - 0.5 - 0.2 + 1.2 + 0.5}{7} = \frac{0.7}{7} = 0.1\text{千克}$。
平均体重 $= 48.0 + 0.1 =$ $48.1$ 千克。
(4) 解：将差值从大到小（或从小到大）排列：
$+1.7, +1.2, +0.8, +0.5, -0.2, -0.5, -2.8$。
排在正中间（第四位）的差值是 $+0.5$，对应的学生是：7号学生。
20．现有 10箱水果，每箱以 $20\text{千克}$ 为标准，超过或不足的千克数分别用正数，负数来表示，记录如下：
(1) 这 10箱水果中最重的一箱与最轻的一箱重量相差 _________ $\text{kg}$；
(2) 与标准质量相比，10箱水果总共是超过或不足多少千克？这 10箱水果的平均质量是多少千克？
(3) 若这批水果售价为 $5$ 元/千克，这批水果全部卖完（不计损坏）共卖了多少元？
| 箱数 | 2 | 3 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 与标准质量的差值 (kg) | -0.3 | -0.2 | 0 | 0.8 |
(2) 与标准质量相比，10箱水果总共是超过或不足多少千克？这 10箱水果的平均质量是多少千克？
(3) 若这批水果售价为 $5$ 元/千克，这批水果全部卖完（不计损坏）共卖了多少元？
【参考答案与解析】
(1) 解：最重的比标准多 $0.8\text{kg}$，最轻的比标准少 $0.3\text{kg}$。
相差 $= 0.8 - (-0.3) =$ $1.1\text{ kg}$。
(2) 解：根据题意计算总差值：
$2 \times (-0.3) + 3 \times (-0.2) + 2 \times 0 + 3 \times 0.8 = -0.6 - 0.6 + 0 + 2.4 = 1.2\text{ (kg)}$。
答：10箱水果总共超过 $1.2\text{千克}$。
平均质量 $= \frac{10 \times 20 + 1.2}{10} =$ $20.12\text{ (千克)}$。
(3) 解：总重量为 $10 \times 20.12 = 201.2\text{ (千克)}$。
全部卖完金额 $= 5 \times 201.2 =$ $1006\text{ (元)}$。
(1) 解：最重的比标准多 $0.8\text{kg}$，最轻的比标准少 $0.3\text{kg}$。
相差 $= 0.8 - (-0.3) =$ $1.1\text{ kg}$。
(2) 解：根据题意计算总差值：
$2 \times (-0.3) + 3 \times (-0.2) + 2 \times 0 + 3 \times 0.8 = -0.6 - 0.6 + 0 + 2.4 = 1.2\text{ (kg)}$。
答：10箱水果总共超过 $1.2\text{千克}$。
平均质量 $= \frac{10 \times 20 + 1.2}{10} =$ $20.12\text{ (千克)}$。
(3) 解：总重量为 $10 \times 20.12 = 201.2\text{ (千克)}$。
全部卖完金额 $= 5 \times 201.2 =$ $1006\text{ (元)}$。
21．某检修小组乘汽车检修供电线路。向南记为正，向北记为负。某天自 $A$ 地出发。所走路程（单位：千米）为：$-3, +4, -2, -8, +11, -2, +8$；问：
① 最后他们是否回到出发点？若没有，则在 $A$ 地的什么地方？距离 $A$ 地多远？
② 若每千米耗油 $0.06$ 升，则今天共耗油多少升？
① 最后他们是否回到出发点？若没有，则在 $A$ 地的什么地方？距离 $A$ 地多远？
② 若每千米耗油 $0.06$ 升，则今天共耗油多少升？
【参考答案与解析】
① 解：将所有位移相加：
$(-3) + (+4) + (-2) + (-8) + (+11) + (-2) + (+8)$
$= -3 + 4 - 2 - 8 + 11 - 2 + 8 = 8$。
答：没有回到出发点，最后他们在 $A$ 地的南边，距离 $A$ 地 $8\text{千米}$。
② 解：总行驶路程为绝对值之和：
$|-3| + |+4| + |-2| + |-8| + |+11| + |-2| + |+8|$
$= 3 + 4 + 2 + 8 + 11 + 2 + 8 = 38\text{ (千米)}$。
耗油量 $= 38 \times 0.06 =$ $2.28\text{ (升)}$。
① 解：将所有位移相加：
$(-3) + (+4) + (-2) + (-8) + (+11) + (-2) + (+8)$
$= -3 + 4 - 2 - 8 + 11 - 2 + 8 = 8$。
答：没有回到出发点，最后他们在 $A$ 地的南边，距离 $A$ 地 $8\text{千米}$。
② 解：总行驶路程为绝对值之和：
$|-3| + |+4| + |-2| + |-8| + |+11| + |-2| + |+8|$
$= 3 + 4 + 2 + 8 + 11 + 2 + 8 = 38\text{ (千米)}$。
耗油量 $= 38 \times 0.06 =$ $2.28\text{ (升)}$。
22．某出租车一天下午以车站为出发地在东西方向的大街上营运，规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：$\text{km}$）依先后次序记录如下：$+9, -3, -5, +4, -8, +6, -3, -6, -4, +10$。
(1) 将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站出发点多远？在车站的什么方向？
(2) 出租车在行驶过程中，离车站最远的距离是多少？
(3) 出租车按物价部门规定，起步价（不超过 $3\text{千米}$）为 $8$ 元，超过 $3\text{千米}$ 的部分每千米的价格为 $1.5$ 元，司机一个下午的营业额是多少？
(1) 将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站出发点多远？在车站的什么方向？
(2) 出租车在行驶过程中，离车站最远的距离是多少？
(3) 出租车按物价部门规定，起步价（不超过 $3\text{千米}$）为 $8$ 元，超过 $3\text{千米}$ 的部分每千米的价格为 $1.5$ 元，司机一个下午的营业额是多少？
【参考答案与解析】
(1) 解：将所有记录求和即为最终位置：
$(+9) + (-3) + (-5) + (+4) + (-8) + (+6) + (-3) + (-6) + (-4) + (+10) = 0$。
答：离车站出发点 $0\text{ km}$，出租车在车站。
(2) 解：依次计算各次下车后离车站的距离：
第1次：$9\text{ km}$
第2次：$9 - 3 = 6\text{ km}$
第3次：$6 - 5 = 1\text{ km}$
第4次：$1 + 4 = 5\text{ km}$
第5次：$5 - 8 = -3\text{ km}$，距离为 $3\text{ km}$
第6次：$-3 + 6 = 3\text{ km}$
第7次：$3 - 3 = 0\text{ km}$
第8次：$0 - 6 = -6\text{ km}$，距离为 $6\text{ km}$
第9次：$-6 - 4 = -10\text{ km}$，距离为 $10\text{ km}$
第10次：$-10 + 10 = 0\text{ km}$。
答：离车站最远的距离是 $10\text{ km}$。
(3) 解：求出每一次行程的收费（里程取绝对值）：
$+9\text{km}$ 收费：$8 + (9-3) \times 1.5 = 17$ (元)
$-3\text{km}$ 收费：$8$ (元)
$-5\text{km}$ 收费：$8 + (5-3) \times 1.5 = 11$ (元)
$+4\text{km}$ 收费：$8 + (4-3) \times 1.5 = 9.5$ (元)
$-8\text{km}$ 收费：$8 + (8-3) \times 1.5 = 15.5$ (元)
$+6\text{km}$ 收费：$8 + (6-3) \times 1.5 = 12.5$ (元)
$-3\text{km}$ 收费：$8$ (元)
$-6\text{km}$ 收费：$8 + (6-3) \times 1.5 = 12.5$ (元)
$-4\text{km}$ 收费：$8 + (4-3) \times 1.5 = 9.5$ (元)
$+10\text{km}$ 收费：$8 + (10-3) \times 1.5 = 18.5$ (元)
总营业额 $= 17 + 8 + 11 + 9.5 + 15.5 + 12.5 + 8 + 12.5 + 9.5 + 18.5 =$ $122$ (元)。
(1) 解：将所有记录求和即为最终位置：
$(+9) + (-3) + (-5) + (+4) + (-8) + (+6) + (-3) + (-6) + (-4) + (+10) = 0$。
答：离车站出发点 $0\text{ km}$，出租车在车站。
(2) 解：依次计算各次下车后离车站的距离：
第1次：$9\text{ km}$
第2次：$9 - 3 = 6\text{ km}$
第3次：$6 - 5 = 1\text{ km}$
第4次：$1 + 4 = 5\text{ km}$
第5次：$5 - 8 = -3\text{ km}$，距离为 $3\text{ km}$
第6次：$-3 + 6 = 3\text{ km}$
第7次：$3 - 3 = 0\text{ km}$
第8次：$0 - 6 = -6\text{ km}$，距离为 $6\text{ km}$
第9次：$-6 - 4 = -10\text{ km}$，距离为 $10\text{ km}$
第10次：$-10 + 10 = 0\text{ km}$。
答：离车站最远的距离是 $10\text{ km}$。
(3) 解：求出每一次行程的收费（里程取绝对值）：
$+9\text{km}$ 收费：$8 + (9-3) \times 1.5 = 17$ (元)
$-3\text{km}$ 收费：$8$ (元)
$-5\text{km}$ 收费：$8 + (5-3) \times 1.5 = 11$ (元)
$+4\text{km}$ 收费：$8 + (4-3) \times 1.5 = 9.5$ (元)
$-8\text{km}$ 收费：$8 + (8-3) \times 1.5 = 15.5$ (元)
$+6\text{km}$ 收费：$8 + (6-3) \times 1.5 = 12.5$ (元)
$-3\text{km}$ 收费：$8$ (元)
$-6\text{km}$ 收费：$8 + (6-3) \times 1.5 = 12.5$ (元)
$-4\text{km}$ 收费：$8 + (4-3) \times 1.5 = 9.5$ (元)
$+10\text{km}$ 收费：$8 + (10-3) \times 1.5 = 18.5$ (元)
总营业额 $= 17 + 8 + 11 + 9.5 + 15.5 + 12.5 + 8 + 12.5 + 9.5 + 18.5 =$ $122$ (元)。