🌟 1.2 有理数及其大小比较 同步练习
人教版数学七年级上册
一、 单选题 (1-12)
1．有理数 $2$ 的相反数是（ ）
2．$-\frac{2}{3}$ 的相反数是（ ）
3．下列说法中，错误的是（ ）
4．下列各数最大的是（ ）
5．数轴上表示数 $a$ 的点的位置如图所示，则 $a$ 可以是（ ）
6．已知 $a<0$ ， $b>0$ ，且 $|a|>b$ ，则 $a$ ， $b$ ， $-a$ ， $-b$ 的大小关系是（ ）
7．用符号表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）
8．下列说法正确的是 ( )
9．在 $1，-2，0，\frac{3}{2}$，这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
10．有理数 $m，n，k$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 $m+n < 0，n+k > 0$，则 $A，B，C，D$ 四个点中可能是原点的是（ ）
11．在数轴上任取一条长度为 $2013\frac{1}{2}$ 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）
12．一电子跳蚤落在数轴上的某点 $k_0$ 处，第一步从 $k_0$ 向左跳 1 个单位到 $k_1$，第二步从 $k_1$ 向右跳 2 个单位到 $k_2$，第三步由 $k_2$ 处向左跳 3 个单位到 $k_3$，第四步由 $k_3$向右跳 4 个单位到 $k_4$……按以上规律跳了 $100$ 步后，电子跳蚤落在数轴上的数是 $0$，则 $k_0$ 表示的数是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．下列各数 $0.01，10，-6.67，-13，0，-(-3)，|-2|，-2^2$ 属于非负整数的共有 个。
14．在数轴上的点 $A$ 表示的数是 $-2$ ，则与点 $A$ 相距 5 个单位长度的点表示的数是 ．
15．点 $A ， B ， C ， D$ 在数轴上的位置如图用示，点 $A ， D$ 表示的数是互为相反数，若点 $B$ 所表示的数为 $n$ ，点 $A$ 与点 $B$ 之间的距离为 2，则点 $D$ 所表示的数为 ．（用含有 $n$ 的式子表示）
16．如图，将一刻度尺放在数轴上。若刻度尺上 $0\text{cm}$ 和 $7\text{cm}$ 对应数轴上的点表示的数分别为 $-2$ 和 $5$。则刻度尺上 $5\text{cm}$ 对应数轴上的点表示的数是 。
17．下列说法：
① $|a-b|=a-b$ ，则 $a \ge b$ ；
② 数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；
③ 若 $abc < 0$ ，则 $\frac{|ab|}{ab}+\frac{|bc|}{bc}+\frac{|ac|}{ac}+\frac{|abc|}{abc} = \pm 2$ ；
④ $|a+b|=|a-b|$ ，则 $b=0$ ．
正确的有 （填序号）。
① $|a-b|=a-b$ ，则 $a \ge b$ ；
② 数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；
③ 若 $abc < 0$ ，则 $\frac{|ab|}{ab}+\frac{|bc|}{bc}+\frac{|ac|}{ac}+\frac{|abc|}{abc} = \pm 2$ ；
④ $|a+b|=|a-b|$ ，则 $b=0$ ．
正确的有 （填序号）。
三、 解答题 (18-24)
18．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里：
$1，0.0908， -70 ， -3.88 ，0，3.14， -7\frac{2}{3} ， 0.\dot{6}$ ．
(1) 正有理数集合：{ _______________ …}
(2) 负整数集合：{ _______________ …}
(3) 正分数集合：{ _______________ …}
(4) 非负整数集合：{ _______________ …}
$1，0.0908， -70 ， -3.88 ，0，3.14， -7\frac{2}{3} ， 0.\dot{6}$ ．
(1) 正有理数集合：{ _______________ …}
(2) 负整数集合：{ _______________ …}
(3) 正分数集合：{ _______________ …}
(4) 非负整数集合：{ _______________ …}
【参考答案与解析】
解：按照有理数分类进行划分：
(1) 正有理数集合：{ $1$，$0.0908$，$3.14$，$0.\dot{6}$ … }
(2) 负整数集合：{ $-70$ … }
(3) 正分数集合（小数均可视作分数）：{ $0.0908$，$3.14$，$0.\dot{6}$ … }
(4) 非负整数集合（正整数和零）：{ $1$，$0$ … }
解：按照有理数分类进行划分：
(1) 正有理数集合：{ $1$，$0.0908$，$3.14$，$0.\dot{6}$ … }
(2) 负整数集合：{ $-70$ … }
(3) 正分数集合（小数均可视作分数）：{ $0.0908$，$3.14$，$0.\dot{6}$ … }
(4) 非负整数集合（正整数和零）：{ $1$，$0$ … }
19．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内：
① $-9.3$ ， ② $\frac{3}{100}$ ， ③ $-20$ ， ④ $0$ ， ⑤ $0.01$ ， ⑥ $-1$ ， ⑦ $-\frac{7}{2}$ ， ⑧ $3.14$ ， ⑨ $100$ ．
正数集合：{ }；
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
非负数集合：{ }。
① $-9.3$ ， ② $\frac{3}{100}$ ， ③ $-20$ ， ④ $0$ ， ⑤ $0.01$ ， ⑥ $-1$ ， ⑦ $-\frac{7}{2}$ ， ⑧ $3.14$ ， ⑨ $100$ ．
正数集合：{ }；
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
非负数集合：{ }。
【参考答案与解析】
解：分类依据及结果：
正数集合（大于零的数）：{ ② ⑤ ⑧ ⑨ }；
整数集合（没有小数和分母部分的数）：{ ③ ④ ⑥ ⑨ }；
负分数集合（带有小数或分母且为负）：{ ① ⑦ }；
非负数集合（大于等于零的数）：{ ② ④ ⑤ ⑧ ⑨ }。
解：分类依据及结果：
正数集合（大于零的数）：{ ② ⑤ ⑧ ⑨ }；
整数集合（没有小数和分母部分的数）：{ ③ ④ ⑥ ⑨ }；
负分数集合（带有小数或分母且为负）：{ ① ⑦ }；
非负数集合（大于等于零的数）：{ ② ④ ⑤ ⑧ ⑨ }。
20．求绝对值等于下列各数的数，并把它们表示在同一条数轴上。
(1) $5$
(2) $0$
(3) $\frac{3}{2}$
(1) $5$
(2) $0$
(3) $\frac{3}{2}$
【参考答案与解析】
解：
(1) 绝对值等于 $5$ 的数有两个，分别是 $5$ 和 $-5$；
(2) 绝对值等于 $0$ 的数只有一个，是 $0$；
(3) 绝对值等于 $\frac{3}{2}$ 的数有两个，分别是 $\frac{3}{2}$ 和 $-\frac{3}{2}$。
在数轴上的表示如下：
解：
(1) 绝对值等于 $5$ 的数有两个，分别是 $5$ 和 $-5$；
(2) 绝对值等于 $0$ 的数只有一个，是 $0$；
(3) 绝对值等于 $\frac{3}{2}$ 的数有两个，分别是 $\frac{3}{2}$ 和 $-\frac{3}{2}$。
在数轴上的表示如下：
21．实数 $a，b$ 在数轴上的位置如图所示，化简 $|a| - |b-1| - |a-b|$ ．
【参考答案与解析】
解：由数轴可知 $-1 < a < 0$ 且 $b > 2$。
所以判断各项符号：
$a < 0$ ；
$b - 1 > 0$ （因为 $b>2$）；
$a - b < 0$ （因为 $a$ 为负， $b$ 为正，负减正必然为负）。
原式 $= -a - (b - 1) - [-(a - b)]$
$= -a - b + 1 - (-a + b)$
$= -a - b + 1 + a - b$
$= $ $1 - 2b$。
解：由数轴可知 $-1 < a < 0$ 且 $b > 2$。
所以判断各项符号：
$a < 0$ ；
$b - 1 > 0$ （因为 $b>2$）；
$a - b < 0$ （因为 $a$ 为负， $b$ 为正，负减正必然为负）。
原式 $= -a - (b - 1) - [-(a - b)]$
$= -a - b + 1 - (-a + b)$
$= -a - b + 1 + a - b$
$= $ $1 - 2b$。
22．数 $a、b、c$ 在数轴上对应的位置如图所示，化简 $|a+c| - |a| + |-b|$ ．
【参考答案与解析】
解：由数轴可知 $-2 < b < -1 < c < 0 < 1 < a < 3$。
判定各项符号：
$a > 0$ 且 $c < 0$，但 $a$ 的绝对值明显大于 $c$ 的绝对值，所以 $a+c > 0$；
$a > 0$；
$-b > 0$ （因为 $b < 0$）。
去绝对值符号得：
原式 $= (a+c) - a + (-b)$
$= a + c - a - b$
$= $ $c - b$。
解：由数轴可知 $-2 < b < -1 < c < 0 < 1 < a < 3$。
判定各项符号：
$a > 0$ 且 $c < 0$，但 $a$ 的绝对值明显大于 $c$ 的绝对值，所以 $a+c > 0$；
$a > 0$；
$-b > 0$ （因为 $b < 0$）。
去绝对值符号得：
原式 $= (a+c) - a + (-b)$
$= a + c - a - b$
$= $ $c - b$。
23．数轴上点 $A，B$ 分别表示有理数 $a，b$，这两点之间的距离记为 $AB$ ，即 $AB=|a-b|$ ．利用数形结合思想回答下列问题：
(1) 表示 $2$ 和 $5$ 的两点之间的距离为 ______ ，表示 $2$ 和 $-3$ 的两点之间的距离为 ______ ；
(2) 表示 $x$ 和 $-4$ 的两点之间的距离为 ______________ ；（用含有 $x$ 的式子表示）
(3) 求 $|x+3| + |x-5|$ 的最小值为 _________ ；
(4) 求 $|x-1| + |x-2| + |x-3| + ... + |x-2025|$ 的最小值为 _________ ．
(1) 表示 $2$ 和 $5$ 的两点之间的距离为 ______ ，表示 $2$ 和 $-3$ 的两点之间的距离为 ______ ；
(2) 表示 $x$ 和 $-4$ 的两点之间的距离为 ______________ ；（用含有 $x$ 的式子表示）
(3) 求 $|x+3| + |x-5|$ 的最小值为 _________ ；
(4) 求 $|x-1| + |x-2| + |x-3| + ... + |x-2025|$ 的最小值为 _________ ．
【参考答案与解析】
(1) 解：距离公式 $|a-b|$。
$|2 - 5| = |-3| =$ $3$；
$|2 - (-3)| = |5| =$ $5$。
(2) 解：$|x - (-4)| =$ $|x+4|$。
(3) 解：式子表示数轴上一点 $x$ 到 $-3$ 和到 $5$ 的距离之和。
当点 $x$ 落在 $-3$ 和 $5$ 之间的线段上时，其距离之和即为线段的长度。
最小值为：$5 - (-3) =$ $8$。
(4) 解：这是求数轴上一点 $x$ 到 $1, 2, 3, \ldots, 2025$ 这 $2025$ 个点的距离之和。
根据绝对值的几何意义，当 $x$ 取最中间的那个数（即中位数）时，距离之和最小。
最中间的数是 $\frac{1+2025}{2} = 1013$。
将 $x = 1013$ 代入，有左右首尾项两两配对距离，共 $1012$ 组：
$(2025-1) + (2024-2) + \ldots = 2024 + 2022 + \ldots + 2$
$= \frac{(2+2024) \times 1012}{2} = 1013 \times 1012 =$ $1025156$。
(1) 解：距离公式 $|a-b|$。
$|2 - 5| = |-3| =$ $3$；
$|2 - (-3)| = |5| =$ $5$。
(2) 解：$|x - (-4)| =$ $|x+4|$。
(3) 解：式子表示数轴上一点 $x$ 到 $-3$ 和到 $5$ 的距离之和。
当点 $x$ 落在 $-3$ 和 $5$ 之间的线段上时，其距离之和即为线段的长度。
最小值为：$5 - (-3) =$ $8$。
(4) 解：这是求数轴上一点 $x$ 到 $1, 2, 3, \ldots, 2025$ 这 $2025$ 个点的距离之和。
根据绝对值的几何意义，当 $x$ 取最中间的那个数（即中位数）时，距离之和最小。
最中间的数是 $\frac{1+2025}{2} = 1013$。
将 $x = 1013$ 代入，有左右首尾项两两配对距离，共 $1012$ 组：
$(2025-1) + (2024-2) + \ldots = 2024 + 2022 + \ldots + 2$
$= \frac{(2+2024) \times 1012}{2} = 1013 \times 1012 =$ $1025156$。
24．点 $A、B、C$ 在数轴上表示的数 $a、b、c$ 满足 $(b+10)^2 + |c-14| = 0$ ，且 $a$ 是绝对值最小的有理数。
(1) $a$ 值为 ______ ，$b$ 的值为 ______ ，$c$ 的值为 ______ ；
(2) 已知点 $P$、点 $Q$ 是数轴上的两个动点，点 $P$ 从点 $B$ 出发，以 $4\text{个单位/秒}$ 的速度向右运动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，速度为 $2\text{个单位/秒}$ ．
① 若在点 $P$ 出发的同时点 $Q$ 向左运动，几秒后点 $P$ 和点 $Q$ 在数轴上相遇？
② 若点 $P$ 运动到点 $A$ 处，动点 $Q$ 再出发也向右运动，则 $P$ 运动几秒后这两点之间的距离为 $2$ 个单位？
(1) $a$ 值为 ______ ，$b$ 的值为 ______ ，$c$ 的值为 ______ ；
(2) 已知点 $P$、点 $Q$ 是数轴上的两个动点，点 $P$ 从点 $B$ 出发，以 $4\text{个单位/秒}$ 的速度向右运动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，速度为 $2\text{个单位/秒}$ ．
① 若在点 $P$ 出发的同时点 $Q$ 向左运动，几秒后点 $P$ 和点 $Q$ 在数轴上相遇？
② 若点 $P$ 运动到点 $A$ 处，动点 $Q$ 再出发也向右运动，则 $P$ 运动几秒后这两点之间的距离为 $2$ 个单位？
【参考答案与解析】
(1) 解：因为平方和绝对值具有非负性，相加为 $0$，说明它们各自为 $0$：
$b+10 = 0 \implies b = $ $-10$；
$c-14 = 0 \implies c = $ $14$；
绝对值最小的有理数是 $0$，所以 $a = $ $0$。
(2) 解：① 设 $t$ 秒后相遇。
点 $P$ 表示的数为：$-10 + 4t$；
点 $Q$ 向左运动，表示的数为：$14 - 2t$。
相遇即表示：$-10 + 4t = 14 - 2t \implies 6t = 24 \implies t = 4$。
答：$4$ 秒后点 $P$ 和点 $Q$ 在数轴上相遇。
② 设 $P$ 总共运动了 $t$ 秒。点 $P$ 从 $B(-10)$ 到 $A(0)$ 用时为 $10 \div 4 = 2.5$ 秒。
则 $Q$ 出发时 $P$ 已经运动了 $2.5$ 秒。动点 $Q$ 运动的时间为 $(t - 2.5)$ 秒。
此时点 $P$ 的位置：$-10 + 4t$；
此时点 $Q$ 的位置：$14 + 2(t - 2.5) = 2t + 9$。
由于距离为 $2$，则：$| (-10 + 4t) - (2t + 9) | = 2$ ，即 $|2t - 19| = 2$。
分两种情况：
当 $2t - 19 = 2$ 时，解得 $t = 10.5$；
当 $2t - 19 = -2$ 时，解得 $t = 8.5$。
（两者都大于 $2.5$ 秒，均成立）
答：$P$ 运动 $8.5$ 秒或 $10.5$ 秒后这两点之间的距离为 $2$ 个单位。
(1) 解：因为平方和绝对值具有非负性，相加为 $0$，说明它们各自为 $0$：
$b+10 = 0 \implies b = $ $-10$；
$c-14 = 0 \implies c = $ $14$；
绝对值最小的有理数是 $0$，所以 $a = $ $0$。
(2) 解：① 设 $t$ 秒后相遇。
点 $P$ 表示的数为：$-10 + 4t$；
点 $Q$ 向左运动，表示的数为：$14 - 2t$。
相遇即表示：$-10 + 4t = 14 - 2t \implies 6t = 24 \implies t = 4$。
答：$4$ 秒后点 $P$ 和点 $Q$ 在数轴上相遇。
② 设 $P$ 总共运动了 $t$ 秒。点 $P$ 从 $B(-10)$ 到 $A(0)$ 用时为 $10 \div 4 = 2.5$ 秒。
则 $Q$ 出发时 $P$ 已经运动了 $2.5$ 秒。动点 $Q$ 运动的时间为 $(t - 2.5)$ 秒。
此时点 $P$ 的位置：$-10 + 4t$；
此时点 $Q$ 的位置：$14 + 2(t - 2.5) = 2t + 9$。
由于距离为 $2$，则：$| (-10 + 4t) - (2t + 9) | = 2$ ，即 $|2t - 19| = 2$。
分两种情况：
当 $2t - 19 = 2$ 时，解得 $t = 10.5$；
当 $2t - 19 = -2$ 时，解得 $t = 8.5$。
（两者都大于 $2.5$ 秒，均成立）
答：$P$ 运动 $8.5$ 秒或 $10.5$ 秒后这两点之间的距离为 $2$ 个单位。