🌟 3.1 列代数式表示数量关系 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．若苹果每千克 $x$ 元，小明买了 $2$ 千克苹果需要支付的费用，用代数式表示为（ ）
2．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子… 那么，第9个图中的棋子数是（ ）
3．如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第9个化合物的分子式为（ ）
4．一个两位数，十位上的数字是 $9$，个位上的数字是 $a$，表示这个两位数的式子是（ ）
5．下列各式中：① $x+y$ ；② $S=ab$ ；③ $x>3$ ；④ $-5$ ；⑤ $\frac{a}{b}$ 。其中，属于代数式的个数是（ ）
6．下列式子中，符合代数式的书写规范的是（ ）
7．有下列各式：① $3x$ ；② $x \div y$ ；③ $x+y$ 米 ；④ $\frac{a}{b}$ 。其中，符合代数式书写要求的有（ ）
8．下列不能用代数式 $4m$ 表示的是（ ）
9．新星中学某老师在黑板上写了一个代数式 $3x$，关于这个代数式，下列说法正确的是（ ）
10．下列代数式中符合书写要求的是（ ）
11．如果用 $n$ 表示自然数，那么偶数可以表示为（ ）
12．用代数式表示：比 $a$ 的平方的一半小 $1$ 的数是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．甲、乙两地相距 $400$ 千米，某车以 $80$ 千米/小时的速度从甲地开往乙地，行驶了 $t$（$t \le 5$）小时，此时该车距乙地的路程为 千米。
14．端午节，食品店推出甲、乙、丙三类粽子礼包（均含腊肉、蛋黄、绿豆粽子）。甲：4腊肉+2蛋黄+6绿豆；丙：6腊肉+1蛋黄+3绿豆。已知甲袋成本是其内部腊肉成本的2倍，利润率为 $20\%$；乙的成本是其售价的 $\frac{5}{6}$，利润是甲利润的 $\frac{1}{2}$；丙利润率为 $50\%$。若端午当天甲、乙、丙销量之比为 $5:2:5$，则当天总利润率为 。
15．比 $x$ 的 $3$ 倍小 $2$ 的数用代数式表示为 ．
16．鸡兔同笼，鸡有 $a$ 只，兔有 $b$ 只，则共有头 个，脚 只。
17．商店对商品尾货进行亏本促销，促销方法是将成本为 $x$ 元的商品提价 $20\%$ 后标价，再以 $0.6x(1+20\%) - 50$ 元的促销价出售。则下列说法中：①标价减去50元后再打6折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去50元。能正确表达该商店促销方法的是 （填序号）。
三、 解答题 (18-24)
18．用代数式表示：
(1) 购买 $a$ 斤苹果和 $b$ 斤香蕉，苹果每斤 $8$ 元，香蕉每斤 $5$ 元，则共花费多少元？
(2) 把 $a$ 元存入银行，存期两年，年利率为 $r$，到期时的利息为多少元？
(3) 甲、乙两地相距 $s\text{ km}$。李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时 $t\text{ h}$；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前 $1\text{ h}$ 到达乙地。则公交车的速度为多少？
(1) 购买 $a$ 斤苹果和 $b$ 斤香蕉，苹果每斤 $8$ 元，香蕉每斤 $5$ 元，则共花费多少元？
(2) 把 $a$ 元存入银行，存期两年，年利率为 $r$，到期时的利息为多少元？
(3) 甲、乙两地相距 $s\text{ km}$。李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时 $t\text{ h}$；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前 $1\text{ h}$ 到达乙地。则公交车的速度为多少？
【参考答案与解析】
(1) 解：花费 = 苹果总价 + 香蕉总价，即 $8a + 5b$ 元。
(2) 解：利息 = 本金 × 利率 × 时间，即 $2ar$ 元。
(3) 解：公交车实际用时为 $(t - 1)\text{ h}$，路程为 $s$，所以公交车速度为 $\frac{s}{t-1}\text{ km/h}$。
(1) 解：花费 = 苹果总价 + 香蕉总价，即 $8a + 5b$ 元。
(2) 解：利息 = 本金 × 利率 × 时间，即 $2ar$ 元。
(3) 解：公交车实际用时为 $(t - 1)\text{ h}$，路程为 $s$，所以公交车速度为 $\frac{s}{t-1}\text{ km/h}$。
19．将下列文字表述转化为代数式：
(1) 比 $a$ 的 $2$ 倍大 $1$ 的数；
(2) $a$ 的相反数与 $b$ 的一半的差；
(3) $a$ 的平方除以 $b$ 的商。
(1) 比 $a$ 的 $2$ 倍大 $1$ 的数；
(2) $a$ 的相反数与 $b$ 的一半的差；
(3) $a$ 的平方除以 $b$ 的商。
【参考答案与解析】
(1) 解：$a$ 的 $2$ 倍是 $2a$，大 $1$ 加上 $1$。代数式为 $2a+1$。
(2) 解：$a$ 的相反数是 $-a$，$b$ 的一半是 $\frac{b}{2}$ 或 $0.5b$。代数式为 $-a - \frac{b}{2}$。
(3) 解：除法应写成分数形式，分子是 $a^2$，分母是 $b$。代数式为 $\frac{a^2}{b}$。
(1) 解：$a$ 的 $2$ 倍是 $2a$，大 $1$ 加上 $1$。代数式为 $2a+1$。
(2) 解：$a$ 的相反数是 $-a$，$b$ 的一半是 $\frac{b}{2}$ 或 $0.5b$。代数式为 $-a - \frac{b}{2}$。
(3) 解：除法应写成分数形式，分子是 $a^2$，分母是 $b$。代数式为 $\frac{a^2}{b}$。
20．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一。某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成 $1.5\text{ m}^2$ 范围内苹果的识别。根据数据回答：
(1) 该机器人 $20\text{s}$ 能识别多少面积？$t\text{ s}$ 能识别多少面积？
(2) 该机器人识别 $1000\text{ m}^2$ 范围内的苹果需要多少秒？
(3) 若机器人平均 $1$ 小时采摘 $x$ 个苹果，工人平均 $1$ 小时可以采摘 $y$ 个苹果，则该机器人可比 $2$ 名工人每小时多采摘多少个苹果？
(1) 该机器人 $20\text{s}$ 能识别多少面积？$t\text{ s}$ 能识别多少面积？
(2) 该机器人识别 $1000\text{ m}^2$ 范围内的苹果需要多少秒？
(3) 若机器人平均 $1$ 小时采摘 $x$ 个苹果，工人平均 $1$ 小时可以采摘 $y$ 个苹果，则该机器人可比 $2$ 名工人每小时多采摘多少个苹果？
【参考答案与解析】
(1) 解：$20\text{s}$ 能识别面积为 $20 \times 1.5 = $ $30\text{ m}^2$；$t\text{ s}$ 能识别面积为 $1.5t\text{ m}^2$。
(2) 解：所需时间 = 总面积 ÷ 识别速度，即 $1000 \div 1.5 = $ $\frac{2000}{3}$ 秒。
(3) 解：2名工人 1 小时采摘 $2y$ 个苹果，机器人比他们多采摘的个数为 $x - 2y$ 个。
(1) 解：$20\text{s}$ 能识别面积为 $20 \times 1.5 = $ $30\text{ m}^2$；$t\text{ s}$ 能识别面积为 $1.5t\text{ m}^2$。
(2) 解：所需时间 = 总面积 ÷ 识别速度，即 $1000 \div 1.5 = $ $\frac{2000}{3}$ 秒。
(3) 解：2名工人 1 小时采摘 $2y$ 个苹果，机器人比他们多采摘的个数为 $x - 2y$ 个。
21．【生活情境·邮购图书】邮购一种图书，每本定价 $10$ 元，当邮购数量不足 $100$ 本时，另加书价的 $10\%$ 作为邮费。
(1) 要邮购 $80$ 本该图书，总计金额是多少元？
(2) 当一次邮购超过 $100$ 本时，免邮费，而且超过部分打八折，计算当邮购 $120$ 本该图书时的总计金额是多少元。
(1) 要邮购 $80$ 本该图书，总计金额是多少元？
(2) 当一次邮购超过 $100$ 本时，免邮费，而且超过部分打八折，计算当邮购 $120$ 本该图书时的总计金额是多少元。
【参考答案与解析】
(1) 解：因为 $80 < 100$，需收邮费。
书价：$80 \times 10 = 800$ (元)；
总金额 = $800 \times (1 + 10\%) = $ $880$ (元)。
(2) 解：因为 $120 > 100$，超出 $20$ 本。
前 100 本金额：$100 \times 10 = 1000$ (元)；
超出部分打八折：$20 \times 10 \times 0.8 = 160$ (元)；
总计金额 = $1000 + 160 = $ $1160$ (元)。
(1) 解：因为 $80 < 100$，需收邮费。
书价：$80 \times 10 = 800$ (元)；
总金额 = $800 \times (1 + 10\%) = $ $880$ (元)。
(2) 解：因为 $120 > 100$，超出 $20$ 本。
前 100 本金额：$100 \times 10 = 1000$ (元)；
超出部分打八折：$20 \times 10 \times 0.8 = 160$ (元)；
总计金额 = $1000 + 160 = $ $1160$ (元)。
22．用代数式表示数值特征：
(1) 设 $a$ 表示任意一个整数，用含 $a$ 的代数式表示任意一个偶数及任意一个奇数；
(2) 一个三位数的个位数字为 $x$，十位数字为 $y$，百位数字为 $z$，用含 $x, y, z$ 的代数式表示这个三位数。
(1) 设 $a$ 表示任意一个整数，用含 $a$ 的代数式表示任意一个偶数及任意一个奇数；
(2) 一个三位数的个位数字为 $x$，十位数字为 $y$，百位数字为 $z$，用含 $x, y, z$ 的代数式表示这个三位数。
【参考答案与解析】
(1) 解：偶数是 2 的倍数，可表示为 $2a$；奇数比偶数多 1 或少 1，可表示为 $2a+1$ 或 $2a-1$。
(2) 解：百位数字乘以 100，十位数字乘以 10，个位数字乘以 1。
所以这个三位数表示为 $100z + 10y + x$。
(1) 解：偶数是 2 的倍数，可表示为 $2a$；奇数比偶数多 1 或少 1，可表示为 $2a+1$ 或 $2a-1$。
(2) 解：百位数字乘以 100，十位数字乘以 10，个位数字乘以 1。
所以这个三位数表示为 $100z + 10y + x$。
23．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法。
【探索归纳】通过将立方和分解为图形拼接，发现规律：
$1^3 = 1^2$
$1^3 + 2^3 = (1+2)^2 = 3^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 = (1+2+3)^2 = 6^2$
(1) 总结规律：$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 =$ ____________ （用含 $n$ 的代数式表示）；
(2) 【拓展应用】求 $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 10^3$ 的值。
【探索归纳】通过将立方和分解为图形拼接，发现规律：
$1^3 = 1^2$
$1^3 + 2^3 = (1+2)^2 = 3^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3 = (1+2+3)^2 = 6^2$
(1) 总结规律：$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 =$ ____________ （用含 $n$ 的代数式表示）；
(2) 【拓展应用】求 $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 10^3$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：由规律可知，立方和等于等差数列和的平方。
前 $n$ 项和 $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$，
所以 $1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1+2+...+n)^2 =$ $(\frac{n(n+1)}{2})^2$。
(2) 解：当 $n=10$ 时，
$1^3 + 2^3 + ... + 10^3 = (\frac{10 \times 11}{2})^2 = 55^2 =$ $3025$。
(1) 解：由规律可知，立方和等于等差数列和的平方。
前 $n$ 项和 $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$，
所以 $1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1+2+...+n)^2 =$ $(\frac{n(n+1)}{2})^2$。
(2) 解：当 $n=10$ 时，
$1^3 + 2^3 + ... + 10^3 = (\frac{10 \times 11}{2})^2 = 55^2 =$ $3025$。
24．圆柱体的底面半径为 $r$，高为 $h$，用式子表示圆柱体的体积。
【参考答案与解析】
解：圆柱体的体积 = 底面积 × 高。
底面积为 $\pi r^2$，高为 $h$，
所以圆柱体的体积用代数式表示为 $\pi r^2 h$。
解：圆柱体的体积 = 底面积 × 高。
底面积为 $\pi r^2$，高为 $h$，
所以圆柱体的体积用代数式表示为 $\pi r^2 h$。