🌟 3.2 代数式的值 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．已知代数式 $M = x^2 - 6x + 27$，给出下面3个结论：
① 当 $x=3$ 时，$M=18$；
② $M$ 的最小值是 $18$；
③ $M$ 的最大值是 $24$。
上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
① 当 $x=3$ 时，$M=18$；
② $M$ 的最小值是 $18$；
③ $M$ 的最大值是 $24$。
上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
2．如果 $a - 2b = 2.5$，那么代数式 $2a - 4b + 3$ 的值是（ ）
3．若 $x = 3$ 是方程 $a - bx = 4$ 的解，则 $-6b + 2a + 2021$ 值为（ ）
4．当 $x = -2$ 时，代数式 $5x^2 - 2x + 1$ 的值是（ ）
5．当 $x$ 分别取 $2$ 与 $-2$ 时，代数式 $x^2 - 3x$ 的值（ ）
6．若 $a, b$ 互为相反数，$c, d$ 互为倒数，$|m| = 2$，那么 $a + b - cd + m^2$ 的值是（ ）
7．若 $a - b = 3$，则 $2a - 2b + 1$ 的值为（ ）
8．若 $a, b$ 互为相反数，$c, d$ 互为倒数，$|m| = 2$，则 $\frac{a+b}{2} + cd - m$ 的值为（ ）
9．当 $x = -1$ 时，代数式 $3x^2 - 4x + 4$ 的值是（ ）
10．若 $m^2 - 2m = 1$，则代数式 $2m^2 - 4m + 2019$ 的值是（ ）
11．下面每组的两个量中，成反比例关系的是（ ）
12．按照如图所示的操作步骤，若输入 $x$ 的值为 2，则输出的值为（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．如果代数式 $4y^2 - 2y + 5$ 的值为 $1$，那么代数式 $2y^2 - y + 1$ 的值为 ．
14．如图是一个计算程序，若输入 $a$ 的值为 $-1$，则输出的结果应为 ．
15．已知 $x^2 - 3x = 72$，则 $2x^2 - 6x$ 的值是 ．
16．已知规律 $1 - \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4}$， $1 - \frac{1}{3^2} = \frac{8}{9}$，…，若 $1 - \frac{1}{a^2} = \frac{b}{100}$（$a, b$ 为正整数），则 $a =$ ，$b =$ ．
17．若 $a, b$ 分别表示梯形的上底和下底，$h$ 表示梯形的高，则梯形的面积 $S =$ ；当 $a=2, b=4, h=5$ 时，面积 $S =$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．杨洋家在某市新区买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）。
(1) 这套住房的建筑总面积是 ______________ ．（用含 $a, b$ 的式子表示）
(2) 当 $a=4, b=8$ 时，求出杨洋家这套住房的具体面积。
(3) 若本市10月份的房价均价是 $8999$ 元/平方米，求杨洋家购买此房产的总房价是多少？（计算结果四舍五入到万位）
(2) 当 $a=4, b=8$ 时，求出杨洋家这套住房的具体面积。
(3) 若本市10月份的房价均价是 $8999$ 元/平方米，求杨洋家购买此房产的总房价是多少？（计算结果四舍五入到万位）
【参考答案与解析】
(1) 解：通过割补法补全长方形，这套住房可以看作是由几个矩形拼接而成。
总面积可表示为：$16a + 12b$。（根据解析标准设定形式得出）
(2) 解：当 $a=4, b=8$ 时，代入上式得：
面积 $= 16 \times 4 + 12 \times 8 = 64 + 96 =$ $160$ 平方米。
答：杨洋家这套住房的具体面积是 160 平方米。
(3) 解：总房价 $= 160 \times 8999 = 1439840$ (元)。
约等于 $144\text{万}$ 元。
答：杨洋家购买此房产的总房价约是 $144\text{万}$ 元。
(1) 解：通过割补法补全长方形，这套住房可以看作是由几个矩形拼接而成。
总面积可表示为：$16a + 12b$。（根据解析标准设定形式得出）
(2) 解：当 $a=4, b=8$ 时，代入上式得：
面积 $= 16 \times 4 + 12 \times 8 = 64 + 96 =$ $160$ 平方米。
答：杨洋家这套住房的具体面积是 160 平方米。
(3) 解：总房价 $= 160 \times 8999 = 1439840$ (元)。
约等于 $144\text{万}$ 元。
答：杨洋家购买此房产的总房价约是 $144\text{万}$ 元。
19．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法。
【阅读理解】已知 $a^2 + a = 1$，求 $2a^2 + 2a + 3$ 的值。
因为 $a^2 + a = 1$，所以 $2(a^2 + a) = 2$，所以 $2a^2 + 2a + 3 = 2 \times 1 + 3 = 5$。
【方法运用】
(1) 若代数式 $2x^2 + 3x + 1$ 的值为 $15$，求代数式 $6x^2 + 9x + 8$ 的值；
(2) 当 $x=2$ 时，代数式 $ax^5 + bx^3 + cx + 5$ 的值为 $11$，求当 $x=-2$ 时，该代数式的值；
(3) 若 $x^2 - xy = 12$，$xy - y^2 = -2$，求 $x^2 - 2xy + y^2$ 和 $x^2 - y^2$ 的值。
【阅读理解】已知 $a^2 + a = 1$，求 $2a^2 + 2a + 3$ 的值。
因为 $a^2 + a = 1$，所以 $2(a^2 + a) = 2$，所以 $2a^2 + 2a + 3 = 2 \times 1 + 3 = 5$。
【方法运用】
(1) 若代数式 $2x^2 + 3x + 1$ 的值为 $15$，求代数式 $6x^2 + 9x + 8$ 的值；
(2) 当 $x=2$ 时，代数式 $ax^5 + bx^3 + cx + 5$ 的值为 $11$，求当 $x=-2$ 时，该代数式的值；
(3) 若 $x^2 - xy = 12$，$xy - y^2 = -2$，求 $x^2 - 2xy + y^2$ 和 $x^2 - y^2$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：因为 $2x^2 + 3x + 1 = 15$，所以 $2x^2 + 3x = 14$。
$6x^2 + 9x + 8 = 3(2x^2 + 3x) + 8 = 3 \times 14 + 8 =$ $50$。
(2) 解：把 $x=2$ 代入得 $32a + 8b + 2c + 5 = 11$，所以 $32a + 8b + 2c = 6$。
当 $x=-2$ 时，代数式 $= -32a - 8b - 2c + 5 = -(32a + 8b + 2c) + 5 = -6 + 5 =$ $-1$。
(3) 解：利用整体相加和相减。
$(x^2 - xy) - (xy - y^2) = x^2 - 2xy + y^2 = 12 - (-2) =$ $14$。
$(x^2 - xy) + (xy - y^2) = x^2 - y^2 = 12 + (-2) =$ $10$。
(1) 解：因为 $2x^2 + 3x + 1 = 15$，所以 $2x^2 + 3x = 14$。
$6x^2 + 9x + 8 = 3(2x^2 + 3x) + 8 = 3 \times 14 + 8 =$ $50$。
(2) 解：把 $x=2$ 代入得 $32a + 8b + 2c + 5 = 11$，所以 $32a + 8b + 2c = 6$。
当 $x=-2$ 时，代数式 $= -32a - 8b - 2c + 5 = -(32a + 8b + 2c) + 5 = -6 + 5 =$ $-1$。
(3) 解：利用整体相加和相减。
$(x^2 - xy) - (xy - y^2) = x^2 - 2xy + y^2 = 12 - (-2) =$ $14$。
$(x^2 - xy) + (xy - y^2) = x^2 - y^2 = 12 + (-2) =$ $10$。
20．甲、乙两地相距 $100\text{千米}$，一辆汽车的行驶速度为 $v\text{ 千米/时}$。
(1) 用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶的时间；
(2) 若速度增加 $5\text{ 千米/时}$，则从甲地到乙地需多长时间？速度增加后比原来可早到多长时间？
(3) 若 $v = 50\text{ 千米/时}$，分别计算上面各个代数式的值，并指明其意义。
(1) 用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶的时间；
(2) 若速度增加 $5\text{ 千米/时}$，则从甲地到乙地需多长时间？速度增加后比原来可早到多长时间？
(3) 若 $v = 50\text{ 千米/时}$，分别计算上面各个代数式的值，并指明其意义。
【参考答案与解析】
(1) 解：时间 = 路程 ÷ 速度，所以需行驶时间为 $\frac{100}{v}$ 小时。
(2) 解：速度增加后时间为 $\frac{100}{v+5}$ 小时。
比原来早到的时间为 $(\frac{100}{v} - \frac{100}{v+5})$ 小时。
(3) 解：当 $v=50$ 时，
$\frac{100}{v} = \frac{100}{50} = $ $2$ (小时)。意义：原速度下行驶需2小时。
$\frac{100}{v+5} = \frac{100}{55} = $ $\frac{20}{11}$ (小时)。意义：提速后行驶需 $\frac{20}{11}$ 小时。
早到时间：$2 - \frac{20}{11} = $ $\frac{2}{11}$ (小时)。意义：提速后比原来节省了 $\frac{2}{11}$ 小时。
(1) 解：时间 = 路程 ÷ 速度，所以需行驶时间为 $\frac{100}{v}$ 小时。
(2) 解：速度增加后时间为 $\frac{100}{v+5}$ 小时。
比原来早到的时间为 $(\frac{100}{v} - \frac{100}{v+5})$ 小时。
(3) 解：当 $v=50$ 时，
$\frac{100}{v} = \frac{100}{50} = $ $2$ (小时)。意义：原速度下行驶需2小时。
$\frac{100}{v+5} = \frac{100}{55} = $ $\frac{20}{11}$ (小时)。意义：提速后行驶需 $\frac{20}{11}$ 小时。
早到时间：$2 - \frac{20}{11} = $ $\frac{2}{11}$ (小时)。意义：提速后比原来节省了 $\frac{2}{11}$ 小时。
21．已知 $a^2 + 2ab = 12$，$2ab + b^2 = 0$，求 $a^2 + 4ab + b^2$ 与 $a^2 - b^2$ 的值。
【参考答案与解析】
【分析】把已知两式相加或相减即可得到所求代数式的值。
【详解】解：因为 $a^2 + 2ab = 12$， $2ab + b^2 = 0$。
将两式相加得：$(a^2 + 2ab) + (2ab + b^2) = a^2 + 4ab + b^2 = 12 + 0 =$ $12$。
将两式相减得：$(a^2 + 2ab) - (2ab + b^2) = a^2 - b^2 = 12 - 0 =$ $12$。
故答案为：12，12。（注：考查整体代数运算的灵活性）
【分析】把已知两式相加或相减即可得到所求代数式的值。
【详解】解：因为 $a^2 + 2ab = 12$， $2ab + b^2 = 0$。
将两式相加得：$(a^2 + 2ab) + (2ab + b^2) = a^2 + 4ab + b^2 = 12 + 0 =$ $12$。
将两式相减得：$(a^2 + 2ab) - (2ab + b^2) = a^2 - b^2 = 12 - 0 =$ $12$。
故答案为：12，12。（注：考查整体代数运算的灵活性）
22．用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺地板。
求：第(3)个图形中有黑色瓷砖多少块？第($n$)个图形中需要黑色瓷砖多少块？（用含 $n$ 的代数式表示）
【参考答案与解析】
解：观察图形规律发现：
第 (1) 个图形中有黑色瓷砖：$4$ 块（或 $3 \times 1 + 1$）；
第 (2) 个图形中有黑色瓷砖：$7$ 块（或 $3 \times 2 + 1$）；
第 (3) 个图形中有黑色瓷砖：$10$ 块（或 $3 \times 3 + 1$）；
由此可得递推规律：每增加一个基础图形，黑色瓷砖增加 3 块。
所以第 ($n$) 个图形中需要黑色瓷砖 $3n + 1$ 块。
解：观察图形规律发现：
第 (1) 个图形中有黑色瓷砖：$4$ 块（或 $3 \times 1 + 1$）；
第 (2) 个图形中有黑色瓷砖：$7$ 块（或 $3 \times 2 + 1$）；
第 (3) 个图形中有黑色瓷砖：$10$ 块（或 $3 \times 3 + 1$）；
由此可得递推规律：每增加一个基础图形，黑色瓷砖增加 3 块。
所以第 ($n$) 个图形中需要黑色瓷砖 $3n + 1$ 块。
23．某商场 1月份的营业额是 $a$ 万元，2月份的营业额是 1月份的九成，3月份的营业额比 2月份增加了 $2$ 万元。
(1) 这家商场第一季度的营业额是多少（用代数式表示）？
(2) 当 $a = 10$ 时，这家商场第一季度的营业额是多少？
(1) 这家商场第一季度的营业额是多少（用代数式表示）？
(2) 当 $a = 10$ 时，这家商场第一季度的营业额是多少？
【参考答案与解析】
(1) 解：由题意得：
1月份营业额为 $a$；
2月份营业额为 $0.9a$；
3月份营业额为 $0.9a + 2$。
所以第一季度的总营业额 $= a + 0.9a + 0.9a + 2 =$ $2.8a + 2$ (万元)。
(2) 解：当 $a=10$ 时，代入上式计算得：
$2.8 \times 10 + 2 = 28 + 2 =$ $30$ (万元)。
答：当 $a=10$ 时，这家商场第一季度的营业额是 $30$ 万元。
(1) 解：由题意得：
1月份营业额为 $a$；
2月份营业额为 $0.9a$；
3月份营业额为 $0.9a + 2$。
所以第一季度的总营业额 $= a + 0.9a + 0.9a + 2 =$ $2.8a + 2$ (万元)。
(2) 解：当 $a=10$ 时，代入上式计算得：
$2.8 \times 10 + 2 = 28 + 2 =$ $30$ (万元)。
答：当 $a=10$ 时，这家商场第一季度的营业额是 $30$ 万元。
24．为节约能源，我市按如下规定收取电费：一户居民每月用电不超过 $120$ 度，则每度按 $0.52$ 元收费；若超过 $120$ 度，则超过的部分每度多收 $0.2$ 元（即每度 $0.72$ 元）。设某户居民某月用电 $x$ 度。
(1) 请用含 $x$ 的代数式表示该户居民该月应缴纳的电费（分两种情况讨论）；
(2) 已知小明家今年 1月份用电 $96$ 度，2月份用电 $156$ 度，3月份用电 $138$ 度，问小明家今年一季度共应缴纳电费多少元？
(1) 请用含 $x$ 的代数式表示该户居民该月应缴纳的电费（分两种情况讨论）；
(2) 已知小明家今年 1月份用电 $96$ 度，2月份用电 $156$ 度，3月份用电 $138$ 度，问小明家今年一季度共应缴纳电费多少元？
【参考答案与解析】
(1) 解：分两种情况：
当 $x \le 120$ 时，应缴纳的电费为：$0.52x$ (元)；
当 $x > 120$ 时，应缴纳的电费为：$120 \times 0.52 + (x - 120) \times (0.52 + 0.2) = 62.4 + 0.72x - 86.4 =$ $0.72x - 24$ (元)。
(2) 解：分别计算各月电费：
1月份 ($x=96 \le 120$)：$96 \times 0.52 = 49.92$ (元)；
2月份 ($x=156 > 120$)：$0.72 \times 156 - 24 = 112.32 - 24 = 88.32$ (元)；
3月份 ($x=138 > 120$)：$0.72 \times 138 - 24 = 99.36 - 24 = 75.36$ (元)。
一季度总电费 $= 49.92 + 88.32 + 75.36 =$ $213.6$ (元)。
答：小明家今年一季度共应缴纳电费 $213.6$ 元。
(1) 解：分两种情况：
当 $x \le 120$ 时，应缴纳的电费为：$0.52x$ (元)；
当 $x > 120$ 时，应缴纳的电费为：$120 \times 0.52 + (x - 120) \times (0.52 + 0.2) = 62.4 + 0.72x - 86.4 =$ $0.72x - 24$ (元)。
(2) 解：分别计算各月电费：
1月份 ($x=96 \le 120$)：$96 \times 0.52 = 49.92$ (元)；
2月份 ($x=156 > 120$)：$0.72 \times 156 - 24 = 112.32 - 24 = 88.32$ (元)；
3月份 ($x=138 > 120$)：$0.72 \times 138 - 24 = 99.36 - 24 = 75.36$ (元)。
一季度总电费 $= 49.92 + 88.32 + 75.36 =$ $213.6$ (元)。
答：小明家今年一季度共应缴纳电费 $213.6$ 元。