🌟 4.1 整式 同步练习
人教版数学七年级上册
一、 单选题 (1-12)
1．按一定规律排列的多项式：$x-1$，$x^2+1$，$x^3-1$，$x^4+1$，$x^5-1$，$x^6+1$，…，根据上述规律，则第 $n$ 个多项式是（ ）
2．下列结论中正确的是（ ）
3．下列说法正确的是（ ）
4．式子 $(a-1)x^2+bx+c$ 是关于 $x$ 的一次式，则 $a$、$b$ 的值可能为（ ）
5．下列说法中错误的个数是（ ）
① 倒数为本身的数是 $1$；
② 一个有理数的绝对值必为正数；
③ 底边半径为 $2$，高为 $3$ 的圆柱体的侧面积为 $12\pi$；
④ $-2x^2y$ 的系数是 $-2$，次数是 $2$．
① 倒数为本身的数是 $1$；
② 一个有理数的绝对值必为正数；
③ 底边半径为 $2$，高为 $3$ 的圆柱体的侧面积为 $12\pi$；
④ $-2x^2y$ 的系数是 $-2$，次数是 $2$．
6．下列说法正确的是（ ）
7．已知关于 $x,y$ 的多项式 $x^3y^2 - xy$ 与 $x^n y^2 - x^2y$ 的次数相同，那么 $4n$ 的值是（ ）
8．在下列代数式：$-x$ ， $\frac{1}{x}$ ， $\pi$ ， $\sqrt{2}x$ ， $\frac{x+y}{2}$ ， $\frac{2}{x+y}$ ， $x^2-y^2$ 中，整式有（ ）
9．下列说法正确的是（ ）
10．在 $\frac{1}{x}$ ， $\frac{x}{y}$ ， $x^2+1$ ， $\pi$ ， $\frac{x+1}{2}$ 中，不是整式的有（ ）
11．按一定规律排列的单项式：$3b$，$5a^2b$，$7a^4b$，$9a^6b$ … 第 8 个单项式是（ ）
12．按一定规律排列的多项式：$x+1$ ， $-x^2-2$ ， $x^3+3$ ， $-x^4-4$ ， $x^5+5$ … 第 10 个多项式是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．多项式 $3x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ 是 次 项式，其中三次项是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
14．将多项式 $m^3 - 2m^2n + 3mn^2 - n^3$ 按字母 $m$ 升幂排序： ．
15．若多项式 $x^a y^2 + x^2y - x + 1$ 是一个关于 $x, y$ 的四次四项式，且 $a>0$，则 $a$ 的值为 ．
16．观察下列等式：$1^2 - 0^2 = 1$，$2^2 - 1^2 = 3$，$3^2 - 2^2 = 5$，… 按此规律，则第 $n$ 个等式为 ．
17．写出一个只含字母 $a,b$ 的多项式，需同时满足以下条件：
① 五次四项式；
② 每一项必须同时含有字母 $a, b$；
③ 不含同类项；
④ 当 $a, b$ 互为相反数时，多项式的值为 0。
则该多项式可为 ．（答案不唯一，试写一种）
① 五次四项式；
② 每一项必须同时含有字母 $a, b$；
③ 不含同类项；
④ 当 $a, b$ 互为相反数时，多项式的值为 0。
则该多项式可为 ．（答案不唯一，试写一种）
三、 解答题 (18-24)
18．观察下面由“※”组成的图案和等式，并解答问题：
(1) 试猜想 $1 + 3 + 5 + \dots + 39 =$ _________________；
(2) 试猜想 $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) =$ _________________；
(3) 按上述规律计算：$11 + 13 + 15 + \dots + 99$ 的值。
1
※
$\implies 1 = 1^2$
3
※ ※
※ ※
$\implies 1 + 3 = 2^2$
※ ※
5
※ ※ ※
※ ※ ※
※ ※ ※
$\implies 1 + 3 + 5 = 3^2$
※ ※ ※
※ ※ ※
7
※ ※ ※ ※
※ ※ ※ ※
※ ※ ※ ※
※ ※ ※ ※
$\implies 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$
※ ※ ※ ※
※ ※ ※ ※
※ ※ ※ ※
(1) 试猜想 $1 + 3 + 5 + \dots + 39 =$ _________________；
(2) 试猜想 $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) =$ _________________；
(3) 按上述规律计算：$11 + 13 + 15 + \dots + 99$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 观察规律可知，从 1 开始的连续奇数之和，等于奇数个数的平方。
对于 $1 + 3 + \dots + 39$，最后一个数 $39 = 2 \times 20 - 1$，说明共有 20 个连续奇数。
所以和为：$20^2 =$ $400$。
(2) 从 1 开始，一直加到 $(2n-1)$，共有 $n$ 个奇数。
所以和为：$n^2$。
(3) 利用拆分法和规律：
$11 + 13 + 15 + \dots + 99$
$= (1 + 3 + 5 + \dots + 99) - (1 + 3 + 5 + \dots + 9)$
对于前 99 个的奇数和，$99 = 2 \times 50 - 1$，共有 50 个奇数；
对于前 9 个的奇数和，$9 = 2 \times 5 - 1$，共有 5 个奇数；
原式 $= 50^2 - 5^2 = 2500 - 25 =$ $2475$。
(1) 观察规律可知，从 1 开始的连续奇数之和，等于奇数个数的平方。
对于 $1 + 3 + \dots + 39$，最后一个数 $39 = 2 \times 20 - 1$，说明共有 20 个连续奇数。
所以和为：$20^2 =$ $400$。
(2) 从 1 开始，一直加到 $(2n-1)$，共有 $n$ 个奇数。
所以和为：$n^2$。
(3) 利用拆分法和规律：
$11 + 13 + 15 + \dots + 99$
$= (1 + 3 + 5 + \dots + 99) - (1 + 3 + 5 + \dots + 9)$
对于前 99 个的奇数和，$99 = 2 \times 50 - 1$，共有 50 个奇数；
对于前 9 个的奇数和，$9 = 2 \times 5 - 1$，共有 5 个奇数；
原式 $= 50^2 - 5^2 = 2500 - 25 =$ $2475$。
19．观察下面三行数：
第一行：$1, 5, 9, 13, 17, 21 \dots$
第二行：$-2, 4, -8, 16, -32, 64 \dots$
第三行：$-1, 9, 1, 29, -15, 85 \dots$
(1) 第一行第十个数是 _________；
(2) 第二行第 $n$ 个数是 _________（用含 $n$ 的代数式表示）；
(3) 取每行的第十个数，计算这三个数的和。
第一行：$1, 5, 9, 13, 17, 21 \dots$
第二行：$-2, 4, -8, 16, -32, 64 \dots$
第三行：$-1, 9, 1, 29, -15, 85 \dots$
(1) 第一行第十个数是 _________；
(2) 第二行第 $n$ 个数是 _________（用含 $n$ 的代数式表示）；
(3) 取每行的第十个数，计算这三个数的和。
【参考答案与解析】
(1) 解：第一行的数为等差数列，首项为 1，公差为 4。
第 $n$ 个数为 $1 + 4(n-1) = 4n - 3$。
当 $n = 10$ 时，这个数为 $4 \times 10 - 3 =$ $37$。
(2) 解：第二行的数为等比数列，首项为 $-2$，公比为 $-2$。
可以看出它是 2 的幂次方，且符号交替（奇数项负，偶数项正）。
第 $n$ 个数为：$(-1)^n 2^n$（或 $-( -2 )^n$）。
(3) 解：观察第三行可以发现：
第三行的每一个数，恰好等于第一行对应位置的数加上第二行对应位置的数（例如：$-1 = 1 + (-2)$，$9 = 5 + 4$，$1 = 9 + (-8)$）。
所以第三行的第十个数为：$37 + (-1)^{10} 2^{10} = 37 + 1024 = 1061$。
这三个数的和 $= 37 + 1024 + 1061 =$ $2122$。
(1) 解：第一行的数为等差数列，首项为 1，公差为 4。
第 $n$ 个数为 $1 + 4(n-1) = 4n - 3$。
当 $n = 10$ 时，这个数为 $4 \times 10 - 3 =$ $37$。
(2) 解：第二行的数为等比数列，首项为 $-2$，公比为 $-2$。
可以看出它是 2 的幂次方，且符号交替（奇数项负，偶数项正）。
第 $n$ 个数为：$(-1)^n 2^n$（或 $-( -2 )^n$）。
(3) 解：观察第三行可以发现：
第三行的每一个数，恰好等于第一行对应位置的数加上第二行对应位置的数（例如：$-1 = 1 + (-2)$，$9 = 5 + 4$，$1 = 9 + (-8)$）。
所以第三行的第十个数为：$37 + (-1)^{10} 2^{10} = 37 + 1024 = 1061$。
这三个数的和 $= 37 + 1024 + 1061 =$ $2122$。
20．小亮给好朋友留了一张纸条，纸条上写着一串奇怪的字母“kccr zcfglb rfc jgzpypw”，但好朋友一下子就明白了暗号是“meet behind the library”．
你能分析出其中的字母规律，并解答以下密码游戏吗？
如果纸条上的字母为“kccr yr rfc qafmmj”，那么真实的暗号应该是什么？
你能分析出其中的字母规律，并解答以下密码游戏吗？
如果纸条上的字母为“kccr yr rfc qafmmj”，那么真实的暗号应该是什么？
【参考答案与解析】
解：由题意可知，比对原纸条与真实暗号的字母转换：
k $\to$ m (向后推2个)
c $\to$ e (向后推2个)
规律为：纸条上的每一个英文字母按字母表顺序向后推 2 个位置，即可得到真实的字母。
应用此规律解密新纸条“kccr yr rfc qafmmj”：
kccr $\implies$ meet
yr $\implies$ at (y向后2个回到a，r向后2个是t)
rfc $\implies$ the
qafmmj $\implies$ school
答：真实的暗号应该是“meet at the school”。
解：由题意可知，比对原纸条与真实暗号的字母转换：
k $\to$ m (向后推2个)
c $\to$ e (向后推2个)
规律为：纸条上的每一个英文字母按字母表顺序向后推 2 个位置，即可得到真实的字母。
应用此规律解密新纸条“kccr yr rfc qafmmj”：
kccr $\implies$ meet
yr $\implies$ at (y向后2个回到a，r向后2个是t)
rfc $\implies$ the
qafmmj $\implies$ school
答：真实的暗号应该是“meet at the school”。
21．用火柴棒按图中的方式搭图形．
将对应数据填入表格：
(1) $a =$ _________，$b =$ _________；
(2) 按照这种方式搭下去，则搭第 $n$ 个图形需要火柴棒的根数为 ____________；（用含 $n$ 的代数式来表示）
(3) 按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第 2024 个图形需要的火柴棒根数。
| 图形标号 | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|---|
| 火柴棒根数 | 6 | 11 | 16 | a | b |
(2) 按照这种方式搭下去，则搭第 $n$ 个图形需要火柴棒的根数为 ____________；（用含 $n$ 的代数式来表示）
(3) 按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第 2024 个图形需要的火柴棒根数。
【参考答案与解析】
(1) 观察图形及表格数据可知：
每多搭一个六边形，就共用了一根公共火柴棒，即实际只增加了 5 根火柴棒。
所以第 (4) 个图形：$16 + 5 =$ $21$ 根，$a=21$；
第 (5) 个图形：$21 + 5 =$ $26$ 根，$b=26$。
(2) 搭第 1 个图形需要 $6$ 根；
搭第 2 个图形需要 $6 + 5 \times 1 = 11$ 根；
搭第 3 个图形需要 $6 + 5 \times 2 = 16$ 根；
…
搭第 $n$ 个图形需要的根数为：$6 + 5(n-1) =$ $5n + 1$ 根。
(3) 当 $n = 2024$ 时，将其代入公式：
根数 $= 5 \times 2024 + 1 = 10120 + 1 =$ $10121$ 根。
答：第 2024 个图形需要的火柴棒根数为 10121 根。
(1) 观察图形及表格数据可知：
每多搭一个六边形，就共用了一根公共火柴棒，即实际只增加了 5 根火柴棒。
所以第 (4) 个图形：$16 + 5 =$ $21$ 根，$a=21$；
第 (5) 个图形：$21 + 5 =$ $26$ 根，$b=26$。
(2) 搭第 1 个图形需要 $6$ 根；
搭第 2 个图形需要 $6 + 5 \times 1 = 11$ 根；
搭第 3 个图形需要 $6 + 5 \times 2 = 16$ 根；
…
搭第 $n$ 个图形需要的根数为：$6 + 5(n-1) =$ $5n + 1$ 根。
(3) 当 $n = 2024$ 时，将其代入公式：
根数 $= 5 \times 2024 + 1 = 10120 + 1 =$ $10121$ 根。
答：第 2024 个图形需要的火柴棒根数为 10121 根。
22．在数学探究课上，小明将一张面积为 $1$ 的正方形纸片进行分割，如图所示：
第1次分割，将此正方形纸片三等分，其中空白部分的面积记为 $S_1$，则 $S_1 = \frac{1}{3}$；
第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，空白部分面积记为 $S_2$，则 $S_2 = \frac{1}{3^2}$；
第3次分割，将第2次分割图中的空白部分继续三等分，空白部分面积记为 $S_3$，则 $S_3 = \frac{1}{3^3}$；
…… 根据以上规律，完成下列问题：
(1) 尝试：第 4 次分割后，$S_4 =$ _____________；
(2) 初步应用：根据规律，求 $S_1 + S_2 + S_3 + S_4$ 的值；
(3) 拓展应用：利用以上规律，求 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \dots + \frac{2}{3^n}$ 的值。
第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，空白部分面积记为 $S_2$，则 $S_2 = \frac{1}{3^2}$；
第3次分割，将第2次分割图中的空白部分继续三等分，空白部分面积记为 $S_3$，则 $S_3 = \frac{1}{3^3}$；
…… 根据以上规律，完成下列问题：
(1) 尝试：第 4 次分割后，$S_4 =$ _____________；
(2) 初步应用：根据规律，求 $S_1 + S_2 + S_3 + S_4$ 的值；
(3) 拓展应用：利用以上规律，求 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \dots + \frac{2}{3^n}$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：规律表明，每次分割后，空白面积缩小为原来的 $\frac{1}{3}$。
所以 $S_n = \frac{1}{3^n}$。
第 4 次分割后，$S_4 =$ $\frac{1}{3^4}$（或写成 $\frac{1}{81}$）。
(2) 解：直接代入相加计算：
$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} = \frac{27 + 9 + 3 + 1}{81} =$ $\frac{40}{81}$。
(3) 解：利用整体图形面积的割补思想（数形结合）：
第 $n$ 次分割后，所有带阴影区域的面积总和（即 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \dots + \frac{2}{3^n}$）加上最后一块空白面积 $S_n$（即 $\frac{1}{3^n}$），正好等于整个大正方形的面积 1。
所以：$\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \dots + \frac{2}{3^n} = 1 - S_n =$ $1 - \frac{1}{3^n}$。
(1) 解：规律表明，每次分割后，空白面积缩小为原来的 $\frac{1}{3}$。
所以 $S_n = \frac{1}{3^n}$。
第 4 次分割后，$S_4 =$ $\frac{1}{3^4}$（或写成 $\frac{1}{81}$）。
(2) 解：直接代入相加计算：
$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} = \frac{27 + 9 + 3 + 1}{81} =$ $\frac{40}{81}$。
(3) 解：利用整体图形面积的割补思想（数形结合）：
第 $n$ 次分割后，所有带阴影区域的面积总和（即 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \dots + \frac{2}{3^n}$）加上最后一块空白面积 $S_n$（即 $\frac{1}{3^n}$），正好等于整个大正方形的面积 1。
所以：$\frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \dots + \frac{2}{3^n} = 1 - S_n =$ $1 - \frac{1}{3^n}$。
23．动脑筋、找规律。邱老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列的规律探索问题：
(1) 在 B 处的数是正数还是负数？
(2) 负数排在 $A, B, C, D$ 中的什么位置？
(3) 第 2023 个数排在对应于 $A, B, C, D$ 中的什么位置？
(2) 负数排在 $A, B, C, D$ 中的什么位置？
(3) 第 2023 个数排在对应于 $A, B, C, D$ 中的什么位置？
【参考答案与解析】
(1) 解：观察箭头的移动顺序和数值规律：
第 1 个数 $-1$ (左上角A处位置)；第 2 个数 $2$ (左下角C处位置)；
第 3 个数 $-3$ (右下角D处位置)；第 4 个数 $4$ (右上角B处位置)；
第 5 个数 $-5$ 回到左上角，每 4 个数完成一个循环。
规律为：第 $n$ 个数的绝对值是 $n$，且奇数位为负，偶数位为正。
B 是每个循环的第 4 个位置，对应数字是 4 的倍数（偶数），所以 B 处的数是正数。
(2) 解：奇数位上的数字是负数。
在一个完整的 4 个数字的循环中，第 1 位（左上 A 处）和第 3 位（右下 D 处）是奇数位。
所以负数排在 A 和 D 的位置。
(3) 解：求第 2023 个数的位置，即计算 2023 除以循环节 4 的余数。
$2023 \div 4 = 505 \dots \dots 3$
余数为 3，说明它处于循环节的第 3 个位置，也就是对应图中的右下角 D 处。
(1) 解：观察箭头的移动顺序和数值规律：
第 1 个数 $-1$ (左上角A处位置)；第 2 个数 $2$ (左下角C处位置)；
第 3 个数 $-3$ (右下角D处位置)；第 4 个数 $4$ (右上角B处位置)；
第 5 个数 $-5$ 回到左上角，每 4 个数完成一个循环。
规律为：第 $n$ 个数的绝对值是 $n$，且奇数位为负，偶数位为正。
B 是每个循环的第 4 个位置，对应数字是 4 的倍数（偶数），所以 B 处的数是正数。
(2) 解：奇数位上的数字是负数。
在一个完整的 4 个数字的循环中，第 1 位（左上 A 处）和第 3 位（右下 D 处）是奇数位。
所以负数排在 A 和 D 的位置。
(3) 解：求第 2023 个数的位置，即计算 2023 除以循环节 4 的余数。
$2023 \div 4 = 505 \dots \dots 3$
余数为 3，说明它处于循环节的第 3 个位置，也就是对应图中的右下角 D 处。
24．已知单项式 $a^2 b^{m+1}$ 与 $-3x^2 y^3$ 的次数相同。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 当 $m$ 为上问所求值时，求代数式 $3m^2 - m + 1$ 的值。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 当 $m$ 为上问所求值时，求代数式 $3m^2 - m + 1$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：单项式的次数是所有字母指数的和。
$-3x^2 y^3$ 的次数是 $2 + 3 = 5$。
因为两个单项式次数相同，所以 $a^2 b^{m+1}$ 的次数也是 5，即：
$2 + (m + 1) = 5$
解得：$m = 2$。
(2) 解：将 $m=2$ 代入代数式中计算：
$3m^2 - m + 1 = 3 \times 2^2 - 2 + 1$
$= 3 \times 4 - 2 + 1$
$= 12 - 2 + 1 =$ $11$。
(1) 解：单项式的次数是所有字母指数的和。
$-3x^2 y^3$ 的次数是 $2 + 3 = 5$。
因为两个单项式次数相同，所以 $a^2 b^{m+1}$ 的次数也是 5，即：
$2 + (m + 1) = 5$
解得：$m = 2$。
(2) 解：将 $m=2$ 代入代数式中计算：
$3m^2 - m + 1 = 3 \times 2^2 - 2 + 1$
$= 3 \times 4 - 2 + 1$
$= 12 - 2 + 1 =$ $11$。