🌟 5.1 方程 随堂同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列是一元一次方程的是（ ）
2．方程 $2x+a=x-1$ 的解是 $x=-2$，则 $a$ 等于（ ）
3．已知下列方程：① $x-2=3$；② $x+y=1$；③ $\frac{x}{2}=5x+1$；④ $x^2-4x=3$；⑤ $\frac{1}{x}=2$；⑥ $x^2=x$．其中是一元一次方程的是（ ）
4．已知 $a=b$，下面等式一定能成立的是（ ）
5．下列等式中是一元一次方程的是（ ）
6．若方程 $3x-2a=x+4$ 的解为 $x=3$，则 $a$ 的值为（ ）
7．下列各式中：$x-1=0$，$x=0$，$3x-2=x$，$\frac{x}{2}=1$，$x+1=2x$，$x^2=4$，为一元一次方程的有（ ）
8．已知关于 $x$ 的方程 $mx^{|m|} + 2 = 0$ 是一元一次方程，则 $m$ 的取值是（ ）
9．下列各项运用等式的性质变形中，不正确的是（ ）
10．把一些图书分给某班学生，如果每人分 $3$ 本，则余 $20$ 本；如果每人分 $4$ 本，则缺 $25$ 本．设该班有 $x$ 名学生，则可列方程为（ ）
11．下列叙述中，正确的是（ ）
12．下列式子是方程的是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．已知 $2x^{m-1} + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $m$ 值为 ．
14．由等式 $ax=b \ (a \neq 0)$ 得到 $x=\frac{b}{a}$，下列方法：
① 方程两边同乘 $a$；
② 方程两边同乘 $\frac{1}{a}$；
③ 方程两边同除以 $a$；
④ 方程两边同除以 $\frac{1}{a}$．
其中正确的有 ．（填序号）
① 方程两边同乘 $a$；
② 方程两边同乘 $\frac{1}{a}$；
③ 方程两边同除以 $a$；
④ 方程两边同除以 $\frac{1}{a}$．
其中正确的有 ．（填序号）
15．当 $a =$ 时，方程 $(a-1)x^2 + 2x - 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程。
16．若 $(m-2)x^{|m|-1} + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $m =$ ．
17．3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树 $a$ 棵，比七年级师生植树数量的 $2$ 倍还多 $3$ 棵．若七年级师生植树 $x$ 棵，则可列方程为 ．
三、 解答题 (18-24)
18．如果 $x=2$ 是关于 $x$ 的方程 $5x+a=31$ 的解，求 $a$ 的值。
【参考答案与解析】
解：因为 $x=2$ 是方程的解，
把 $x=2$ 代入原方程，得：
$5 \times 2 + a = 31$
$10 + a = 31$
解得：$a = 21$。
解：因为 $x=2$ 是方程的解，
把 $x=2$ 代入原方程，得：
$5 \times 2 + a = 31$
$10 + a = 31$
解得：$a = 21$。
19．已知 $(m-3)x^{|m|-2} + 6 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 若 $|y-m|=3$，求 $y$ 的值。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 若 $|y-m|=3$，求 $y$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：由一元一次方程的定义可知：
$|m| - 2 = 1$ 且 $m - 3 \neq 0$
由 $|m| - 2 = 1$ 得 $|m| = 3$，解得 $m = 3$ 或 $m = -3$。
因为 $m \neq 3$，所以 $m = -3$。
(2) 解：将 $m = -3$ 代入已知等式得：
$|y - (-3)| = 3$，即 $|y + 3| = 3$
所以 $y + 3 = 3$ 或 $y + 3 = -3$
解得：$y = 0$ 或 $y = -6$。
(1) 解：由一元一次方程的定义可知：
$|m| - 2 = 1$ 且 $m - 3 \neq 0$
由 $|m| - 2 = 1$ 得 $|m| = 3$，解得 $m = 3$ 或 $m = -3$。
因为 $m \neq 3$，所以 $m = -3$。
(2) 解：将 $m = -3$ 代入已知等式得：
$|y - (-3)| = 3$，即 $|y + 3| = 3$
所以 $y + 3 = 3$ 或 $y + 3 = -3$
解得：$y = 0$ 或 $y = -6$。
20．已知：方程 $(m+2)x^{|m|-1} - 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，求 $m$ 的值。
【参考答案与解析】
解：根据一元一次方程的定义，得：
$|m| - 1 = 1$ 且 $m + 2 \neq 0$
由 $|m| - 1 = 1$ 得 $|m| = 2$，解得 $m = 2$ 或 $m = -2$。
又因为 $m + 2 \neq 0$，所以 $m \neq -2$。
因此，$m = 2$。
解：根据一元一次方程的定义，得：
$|m| - 1 = 1$ 且 $m + 2 \neq 0$
由 $|m| - 1 = 1$ 得 $|m| = 2$，解得 $m = 2$ 或 $m = -2$。
又因为 $m + 2 \neq 0$，所以 $m \neq -2$。
因此，$m = 2$。
21．检验括号中的数是否为对应方程的解：
(1) $2x-3=5 \qquad (x=4, x=-4)$；
(2) $3(x-1)=2x \qquad (x=3, x=-3)$。
(1) $2x-3=5 \qquad (x=4, x=-4)$；
(2) $3(x-1)=2x \qquad (x=3, x=-3)$。
【参考答案与解析】
(1) 解：将 $x=4$ 代入方程左边，得 $2 \times 4 - 3 = 5$，左边 = 右边，所以 $x=4$ 是方程的解。
将 $x=-4$ 代入方程左边，得 $2 \times (-4) - 3 = -11 \neq 5$，左边 $\neq$ 右边，所以 $x=-4$ 不是方程的解。
(2) 解：将 $x=3$ 代入方程：
左边 $= 3 \times (3 - 1) = 6$；右边 $= 2 \times 3 = 6$。
左边 = 右边，所以 $x=3$ 是方程的解。
将 $x=-3$ 代入方程：
左边 $= 3 \times (-3 - 1) = -12$；右边 $= 2 \times (-3) = -6$。
左边 $\neq$ 右边，所以 $x=-3$ 不是方程的解。
(1) 解：将 $x=4$ 代入方程左边，得 $2 \times 4 - 3 = 5$，左边 = 右边，所以 $x=4$ 是方程的解。
将 $x=-4$ 代入方程左边，得 $2 \times (-4) - 3 = -11 \neq 5$，左边 $\neq$ 右边，所以 $x=-4$ 不是方程的解。
(2) 解：将 $x=3$ 代入方程：
左边 $= 3 \times (3 - 1) = 6$；右边 $= 2 \times 3 = 6$。
左边 = 右边，所以 $x=3$ 是方程的解。
将 $x=-3$ 代入方程：
左边 $= 3 \times (-3 - 1) = -12$；右边 $= 2 \times (-3) = -6$。
左边 $\neq$ 右边，所以 $x=-3$ 不是方程的解。
22．利用等式的性质解下列方程：
(1) $x-6=4$
(2) $-5x=15$
(3) $5x+2=12$
(4) $\frac{x}{3}-1=2$
(1) $x-6=4$
(2) $-5x=15$
(3) $5x+2=12$
(4) $\frac{x}{3}-1=2$
【参考答案与解析】
(1) 解：方程两边同加上 6，得 $x - 6 + 6 = 4 + 6$
解得 $x = 10$。
(2) 解：方程两边同除以 -5，得 $\frac{-5x}{-5} = \frac{15}{-5}$
解得 $x = -3$。
(3) 解：方程两边同减去 2，得 $5x = 10$
方程两边同除以 5，解得 $x = 2$。
(4) 解：方程两边同加上 1，得 $\frac{x}{3} = 3$
方程两边同乘以 3，解得 $x = 9$。
(1) 解：方程两边同加上 6，得 $x - 6 + 6 = 4 + 6$
解得 $x = 10$。
(2) 解：方程两边同除以 -5，得 $\frac{-5x}{-5} = \frac{15}{-5}$
解得 $x = -3$。
(3) 解：方程两边同减去 2，得 $5x = 10$
方程两边同除以 5，解得 $x = 2$。
(4) 解：方程两边同加上 1，得 $\frac{x}{3} = 3$
方程两边同乘以 3，解得 $x = 9$。
23．已知 $(m-2)x^{|m|-1} + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，关于 $x,y$ 的单项式 $nx^2y^m$ 的系数是最大的负整数，求代数式 $m^2-3n$ 的值。
【参考答案与解析】
解：由题意知，$(m-2)x^{|m|-1} + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程。
所以 $|m| - 1 = 1$ 且 $m - 2 \neq 0$
解得：$|m| = 2 \implies m = \pm 2$。因为 $m \neq 2$，所以 $m = -2$。
又因为关于 $x,y$ 的单项式 $nx^2y^{-2}$（此处理论上应当是字母指数，若严格讨论 $m$ 需非负整数，则题意可能略微变形，但为考察代入计算，直接延用系数）。题目指明“系数是最大的负整数”。
最大的负整数是 $-1$，所以 $n = -1$。
将 $m = -2, n = -1$ 代入代数式 $m^2 - 3n$：
$m^2 - 3n = (-2)^2 - 3 \times (-1) = 4 + 3 =$ $7$。
解：由题意知，$(m-2)x^{|m|-1} + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程。
所以 $|m| - 1 = 1$ 且 $m - 2 \neq 0$
解得：$|m| = 2 \implies m = \pm 2$。因为 $m \neq 2$，所以 $m = -2$。
又因为关于 $x,y$ 的单项式 $nx^2y^{-2}$（此处理论上应当是字母指数，若严格讨论 $m$ 需非负整数，则题意可能略微变形，但为考察代入计算，直接延用系数）。题目指明“系数是最大的负整数”。
最大的负整数是 $-1$，所以 $n = -1$。
将 $m = -2, n = -1$ 代入代数式 $m^2 - 3n$：
$m^2 - 3n = (-2)^2 - 3 \times (-1) = 4 + 3 =$ $7$。
24．定义：若方程 $ax=b$ 的解为 $x=c$，且满足 $a+c=b$，则称该方程是“和解方程”．例如：方程 $2x=4$ 的解为 $x=2$，且 $2+2=4$，所以它是“和解方程”．
(1) 判断方程 $3x=4.5$ 是否是“和解方程”，并说明理由；
(2) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $mx=m+2$ 是“和解方程”，运用等式的性质求 $m$ 的值。
(1) 判断方程 $3x=4.5$ 是否是“和解方程”，并说明理由；
(2) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $mx=m+2$ 是“和解方程”，运用等式的性质求 $m$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：是“和解方程”。理由如下：
解方程 $3x = 4.5$，两边同除以 3 得：$x = 1.5$。
因为 $a=3, c=1.5, b=4.5$，且 $3 + 1.5 = 4.5$（即 $a+c=b$ 成立）。
所以它是“和解方程”。
(2) 解：解方程 $mx = m+2$，由定义知它是“和解方程”，说明 $m \neq 0$。
方程的解为 $x = \frac{m+2}{m}$。
根据“和解方程”的定义，必须满足 $a+c=b$，即：
$m + \frac{m+2}{m} = m+2$
两边同时减去 $m$，得：$\frac{m+2}{m} = 2$
两边同时乘 $m$，得：$m+2 = 2m$
移项得：$m = 2$。
(1) 解：是“和解方程”。理由如下：
解方程 $3x = 4.5$，两边同除以 3 得：$x = 1.5$。
因为 $a=3, c=1.5, b=4.5$，且 $3 + 1.5 = 4.5$（即 $a+c=b$ 成立）。
所以它是“和解方程”。
(2) 解：解方程 $mx = m+2$，由定义知它是“和解方程”，说明 $m \neq 0$。
方程的解为 $x = \frac{m+2}{m}$。
根据“和解方程”的定义，必须满足 $a+c=b$，即：
$m + \frac{m+2}{m} = m+2$
两边同时减去 $m$，得：$\frac{m+2}{m} = 2$
两边同时乘 $m$，得：$m+2 = 2m$
移项得：$m = 2$。