🌟 5.2 解一元一次方程 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．小南在解关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{2x-1}{2} - \frac{x-1}{3} = a$ 时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为 $3(2x-1) - 2(x-1) = a$，并解得 $x=-1$。请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（ ）
2．下列解方程的变形过程正确的是（ ）
3．已知关于 $x$ 的方程 $2x - 3 = 1$ 的解和方程 $\frac{x}{2} - \frac{m-x}{3} = 1$ 的解相同，则 $m$ 的值为（ ）
4．小明从家里骑自行车到学校，若每小时骑 $15\text{km}$，则可早到 $15\text{min}$；若每小时骑 $9\text{km}$，则将迟到 $15\text{min}$。小明家到学校的路程是（ ）
5．已知关于 $x$ 的多项式 $(m-2)x^3 + (n-3)x^2 + 3x - 1$ 不含 $x^3$ 和 $x^2$ 项，则 $m+n$ 的值为（ ）
6．解方程 $2(x-1) - 3(2x+1) = 6$ 时，去括号正确的是（ ）
7．把方程 $-\frac{1}{5}x = 2$ 的系数化为 1 的过程中，最恰当的叙述是（ ）
8．对于方程 $x - 3x + 5x = 9$，合并同类项正确的是（ ）
9．已知方程 $(m-1)x^{|m|} + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $m$ 的值为（ ）
10．方程 $\frac{x-1}{2} - \frac{x+3}{3} = 0$ 的解为（ ）
11．若 $x=2$ 是方程 $ax-3 = a$ 的解，则 $a$ 的值为（ ）
12．小明解方程 $\frac{2x-1}{3} = \frac{x+2}{2} - 1$ 的步骤如下：
解：方程两边同乘 $6$，得 $2(2x-1) = 3(x+2) - 1$ ……①
去括号，得 $4x - 2 = 3x + 6 - 1$ ……②
移项，得 $4x - 3x = 6 - 1 + 2$ ……③
合并同类项，得 $x = 7$ ……④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
解：方程两边同乘 $6$，得 $2(2x-1) = 3(x+2) - 1$ ……①
去括号，得 $4x - 2 = 3x + 6 - 1$ ……②
移项，得 $4x - 3x = 6 - 1 + 2$ ……③
合并同类项，得 $x = 7$ ……④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．当 $x=$ 时，式子 $2x-1$ 与 $3x-4$ 互为相反数。
14．框图内呈现解方程的过程，其中依据“等式的性质”进行变形的步骤是 ．（填序号）
解： 去括号，得……①
移项，得……②
合并同类项，得……③
系数化为 1，得……④
解： 去括号，得……①
移项，得……②
合并同类项，得……③
系数化为 1，得……④
15．若 $x=-2$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $3x - m = 1$ 的解，则 $m$ 的值是 ．
16．当 $x=$ 时，代数式 $2(x-1)$ 的值与 $x - 1$ 相等．
17．一元一次方程 $2x-3 = x+1$ 的解为 $x=$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．已知 $x=3$ 是方程 $\frac{2x-m}{2} = x-1$ 的解，$n$ 满足关系式 $|n-2|=4$，求 $m-n$ 的值。
【参考答案与解析】
解：因为 $x=3$ 是方程 $\frac{2x-m}{2} = x-1$ 的解，代入得：
$\frac{2 \times 3 - m}{2} = 3 - 1$
$\frac{6-m}{2} = 2 \implies 6 - m = 4 \implies m = 2$。
又因为 $|n-2| = 4$，根据绝对值的意义：
$n - 2 = 4$ 或 $n - 2 = -4$
解得 $n = 6$ 或 $n = -2$。
当 $n = 6$ 时，$m - n = 2 - 6 = $ $-4$；
当 $n = -2$ 时，$m - n = 2 - (-2) = 2 + 2 = $ $4$。
答：$m-n$ 的值为 $4$ 或 $-4$。
解：因为 $x=3$ 是方程 $\frac{2x-m}{2} = x-1$ 的解，代入得：
$\frac{2 \times 3 - m}{2} = 3 - 1$
$\frac{6-m}{2} = 2 \implies 6 - m = 4 \implies m = 2$。
又因为 $|n-2| = 4$，根据绝对值的意义：
$n - 2 = 4$ 或 $n - 2 = -4$
解得 $n = 6$ 或 $n = -2$。
当 $n = 6$ 时，$m - n = 2 - 6 = $ $-4$；
当 $n = -2$ 时，$m - n = 2 - (-2) = 2 + 2 = $ $4$。
答：$m-n$ 的值为 $4$ 或 $-4$。
19．解下列方程：
(1) $3x-2 = x+4$
(2) $2(x-1) = 3x - 5$
(3) $\frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} = 1$
(1) $3x-2 = x+4$
(2) $2(x-1) = 3x - 5$
(3) $\frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} = 1$
【参考答案与解析】
(1) 解：移项得 $3x - x = 4 + 2$
合并同类项得 $2x = 6$
系数化为1得 $x = 3$。
(2) 解：去括号得 $2x - 2 = 3x - 5$
移项得 $2x - 3x = -5 + 2$
合并同类项得 $-x = -3$
系数化为1得 $x = 3$。
(3) 解：去分母，方程两边同乘 $6$，得 $3(x-1) - 2(2x+1) = 6$
去括号得 $3x - 3 - 4x - 2 = 6$
移项及合并同类项得 $-x - 5 = 6 \implies -x = 11$
系数化为1得 $x = -11$。
(1) 解：移项得 $3x - x = 4 + 2$
合并同类项得 $2x = 6$
系数化为1得 $x = 3$。
(2) 解：去括号得 $2x - 2 = 3x - 5$
移项得 $2x - 3x = -5 + 2$
合并同类项得 $-x = -3$
系数化为1得 $x = 3$。
(3) 解：去分母，方程两边同乘 $6$，得 $3(x-1) - 2(2x+1) = 6$
去括号得 $3x - 3 - 4x - 2 = 6$
移项及合并同类项得 $-x - 5 = 6 \implies -x = 11$
系数化为1得 $x = -11$。
20．解下列方程：
(1) $5x - 3 = 2x + 6$
(2) $3(2x-1) - 2(x+2) = 5$
(1) $5x - 3 = 2x + 6$
(2) $3(2x-1) - 2(x+2) = 5$
【参考答案与解析】
(1) 解：移项，得 $5x - 2x = 6 + 3$
合并同类项，得 $3x = 9$
系数化为1，得 $x = 3$。
(2) 解：去括号，得 $6x - 3 - 2x - 4 = 5$
移项，得 $6x - 2x = 5 + 3 + 4$
合并同类项，得 $4x = 12$
系数化为1，得 $x = 3$。
(1) 解：移项，得 $5x - 2x = 6 + 3$
合并同类项，得 $3x = 9$
系数化为1，得 $x = 3$。
(2) 解：去括号，得 $6x - 3 - 2x - 4 = 5$
移项，得 $6x - 2x = 5 + 3 + 4$
合并同类项，得 $4x = 12$
系数化为1，得 $x = 3$。
21．解一元一次方程：$4x - 1 = 2x + 5$
【参考答案与解析】
解：移项，得 $4x - 2x = 5 + 1$
合并同类项，得 $2x = 6$
系数化为1，得 $x = 3$。
解：移项，得 $4x - 2x = 5 + 1$
合并同类项，得 $2x = 6$
系数化为1，得 $x = 3$。
22．解下列方程：
(1) $\frac{x}{3} + 1 = \frac{x-1}{2}$
(2) $0.2x - 0.1 = 0.3x + 0.2$
(1) $\frac{x}{3} + 1 = \frac{x-1}{2}$
(2) $0.2x - 0.1 = 0.3x + 0.2$
【参考答案与解析】
(1) 解：方程两边同乘 $6$（最小公倍数），得 $2x + 6 = 3(x-1)$
去括号得 $2x + 6 = 3x - 3$
移项得 $2x - 3x = -3 - 6$
合并得 $-x = -9$
系数化为 1 得 $x = 9$。
(2) 解：为方便计算，方程两边可同乘 $10$ 化为整数：
$2x - 1 = 3x + 2$
移项得 $2x - 3x = 2 + 1$
合并得 $-x = 3$
系数化为 1 得 $x = -3$。
(1) 解：方程两边同乘 $6$（最小公倍数），得 $2x + 6 = 3(x-1)$
去括号得 $2x + 6 = 3x - 3$
移项得 $2x - 3x = -3 - 6$
合并得 $-x = -9$
系数化为 1 得 $x = 9$。
(2) 解：为方便计算，方程两边可同乘 $10$ 化为整数：
$2x - 1 = 3x + 2$
移项得 $2x - 3x = 2 + 1$
合并得 $-x = 3$
系数化为 1 得 $x = -3$。
23．解方程：
(1) $2(x-3) - 3(x-2) = 0$
(2) $\frac{2x-1}{4} - \frac{x+1}{3} = 1$
(1) $2(x-3) - 3(x-2) = 0$
(2) $\frac{2x-1}{4} - \frac{x+1}{3} = 1$
【参考答案与解析】
(1) 解：去括号，得 $2x - 6 - 3x + 6 = 0$
移项及合并同类项，得 $-x = 0$
解得 $x = 0$。
(2) 解：去分母（两边同乘 $12$），得 $3(2x-1) - 4(x+1) = 12$
去括号，得 $6x - 3 - 4x - 4 = 12$
移项，得 $6x - 4x = 12 + 3 + 4$
合并同类项，得 $2x = 19$
解得 $x = \frac{19}{2}$。
(1) 解：去括号，得 $2x - 6 - 3x + 6 = 0$
移项及合并同类项，得 $-x = 0$
解得 $x = 0$。
(2) 解：去分母（两边同乘 $12$），得 $3(2x-1) - 4(x+1) = 12$
去括号，得 $6x - 3 - 4x - 4 = 12$
移项，得 $6x - 4x = 12 + 3 + 4$
合并同类项，得 $2x = 19$
解得 $x = \frac{19}{2}$。
24．解方程：
(1) $x - \frac{x-1}{2} = 2 - \frac{x+2}{3}$
(2) $\frac{1}{2}[x - \frac{1}{2}(x-1)] = \frac{2}{3}(x-1)$
(1) $x - \frac{x-1}{2} = 2 - \frac{x+2}{3}$
(2) $\frac{1}{2}[x - \frac{1}{2}(x-1)] = \frac{2}{3}(x-1)$
【参考答案与解析】
(1) 解：去分母（方程两边同乘 $6$），得 $6x - 3(x-1) = 12 - 2(x+2)$
去括号，得 $6x - 3x + 3 = 12 - 2x - 4$
移项，得 $6x - 3x + 2x = 12 - 4 - 3$
合并同类项，得 $5x = 5$
解得 $x = 1$。
(2) 解：先处理内部小括号，方程化为 $\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(x-1)$
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(x-1) \implies \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$
去分母（两边同乘 $12$），得 $3x + 3 = 8x - 8$
移项及合并同类项，得 $-5x = -11$
解得 $x = \frac{11}{5}$。
(1) 解：去分母（方程两边同乘 $6$），得 $6x - 3(x-1) = 12 - 2(x+2)$
去括号，得 $6x - 3x + 3 = 12 - 2x - 4$
移项，得 $6x - 3x + 2x = 12 - 4 - 3$
合并同类项，得 $5x = 5$
解得 $x = 1$。
(2) 解：先处理内部小括号，方程化为 $\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(x-1)$
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(x-1) \implies \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$
去分母（两边同乘 $12$），得 $3x + 3 = 8x - 8$
移项及合并同类项，得 $-5x = -11$
解得 $x = \frac{11}{5}$。