🌟 6.1 几何图形 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．数学知识在生活中应用广泛，同学们用过如图这种折扇吧，因为它折起来便于携带，所以深受人们的喜爱。折扇展开的过程运用的数学原理是（ ）
2．如图，找出上面的立体图形与下面展开图形相对应顺序的是（ ）
①
②
③
④
3．下列图形中可以作为正方体的展开图的是（ ）
4．陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一。如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是（ ）
5．天空划过一道流星，这个过程可用哪个数学原理来解释（ ）
6．分别观察下列几何体，其中有曲面的是（ ）
7．下面的展开图中，可以围成正方体的共有（ ）个。
8．图中的蛋糕的形状类似于（ ）
9．下列立体图形中，从前面看和从上面看得到的平面图形不相同的是（ ）
10．要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（ ）
11．第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园举行，主场馆的形状可以近似看成如下右侧的几何体（圆台状）。下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（ ）
12．若一个棱柱有6条侧棱，则下列说法错误的是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．小明在一个立方体的六个面上分别写上“学党史，悟思想”六个字，已知该正方体的表面展开图如图所示，则在原正方体上“学”对面上的字是 ．
14．(1) 粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了 ；黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可以解释为 ；与此原理相同的例子还有 （举一例）。
(2) 宾馆里旋转的大门给我们以 的形象。
(2) 宾馆里旋转的大门给我们以 的形象。
15．请写出一个你知道的平面图形 ．
16．如图，某长方体的表面展开图的面积为 $340$，其中侧面长方形的高是 $10$，底面两个短边长是 $5$，则图中线段 $AB =$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．如图是一个正方体的平面展开图，标注了字母 M 的是正方体的前面，标注了 $-2$ 的是正方体的底面，正方体的左面与右面标注的式子的和为 21。
(1) 求 $x$ 的值；
(2) 求正方体的上面和后面的数字的积。
(2) 求正方体的上面和后面的数字的积。
【参考答案与解析】
(1) 解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知：
“$x$”与“M”是相对的面；
“$-2$”与“$-3$”是相对的面；
“$4x$”与“$2x+3$”是相对的面。
已知左面与右面标注的式子和为 $21$，且底面是 $-2$，前面是 M，因此左右两个面必为 $4x$ 和 $2x+3$。
列出方程：$4x + (2x + 3) = 21$
解得：$x = 3$。
(2) 解：因为前面是 M，它的对面是“后面”，所以后面是 $x$。
因为底面是 $-2$，它的对面是“上面”，所以上面是 $-3$。
把 $x=3$ 代入，后面的值为 $3$。
上面和后面的数字的积为：$(-3) \times 3 =$ $-9$。
(1) 解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知：
“$x$”与“M”是相对的面；
“$-2$”与“$-3$”是相对的面；
“$4x$”与“$2x+3$”是相对的面。
已知左面与右面标注的式子和为 $21$，且底面是 $-2$，前面是 M，因此左右两个面必为 $4x$ 和 $2x+3$。
列出方程：$4x + (2x + 3) = 21$
解得：$x = 3$。
(2) 解：因为前面是 M，它的对面是“后面”，所以后面是 $x$。
因为底面是 $-2$，它的对面是“上面”，所以上面是 $-3$。
把 $x=3$ 代入，后面的值为 $3$。
上面和后面的数字的积为：$(-3) \times 3 =$ $-9$。
19．综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动。
(1) 下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）
(2) 小组利用边长为 $a$ 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖，图2为有盖）。其中剪去的小正方形边长均为 $b$。
① 根据图1方式制作无盖长方体盒子，则它的底面积为______；
② 根据图2方式制作有盖长方体纸盒，则它的体积为______；
③ 制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；
(3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为 $6, 4, 3$，将其表面剪开成平面图形，则展开图的最大外围周长为______；
(4) 若无盖（缺长宽为 $6 \times 4$ 的底面）长方体的长宽高等同上，展成平面图形，则展开图的最小外围周长为______。
(1) 下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）
(2) 小组利用边长为 $a$ 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖，图2为有盖）。其中剪去的小正方形边长均为 $b$。
图1 (无盖)
图2 (有盖)
② 根据图2方式制作有盖长方体纸盒，则它的体积为______；
③ 制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；
(3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为 $6, 4, 3$，将其表面剪开成平面图形，则展开图的最大外围周长为______；
(4) 若无盖（缺长宽为 $6 \times 4$ 的底面）长方体的长宽高等同上，展成平面图形，则展开图的最小外围周长为______。
【参考答案与解析】
(1) 根据空间折叠的构成，②由于同一侧缺失导致只能折出U型空缺面，无法组成无盖正方体。①③④均能折成一个无盖正方体纸盒。答案：①③④。
(2) ① 图1中，正方形原边长为 $a$，四个角剪去边长 $b$ 的小正方形后，底面的长和宽均变为 $(a-2b)$。底面积为 $(a-2b)^2$。
② 图2中，仔细观察剪法，可推导底面长为 $(a-2b)$，宽为 $\frac{1}{2}(a-2b)$，高为 $b$。体积为 $(a-2b) \times \frac{1}{2}(a-2b) \times b =$ $\frac{1}{2}b(a-2b)^2$。
③ 图1无盖的体积为 $b(a-2b)^2$。显然图1的体积是图2体积的 $2$ 倍。
(3) 对于有盖长方体（长$6$，宽$4$，高$3$），展开图要获得最大周长，就要尽量采用“1-4-1”长条状展开（如十字架形），使得尽量多且长的边暴露在外围。最大外围周长为 $54$。
(4) 对于缺一个 $6 \times 4$ 面的无盖长方体，想要展开图周长最小，应选择紧凑的“十字”展开，把较短的边暴露在外。最小周长为 $36$。
(1) 根据空间折叠的构成，②由于同一侧缺失导致只能折出U型空缺面，无法组成无盖正方体。①③④均能折成一个无盖正方体纸盒。答案：①③④。
(2) ① 图1中，正方形原边长为 $a$，四个角剪去边长 $b$ 的小正方形后，底面的长和宽均变为 $(a-2b)$。底面积为 $(a-2b)^2$。
② 图2中，仔细观察剪法，可推导底面长为 $(a-2b)$，宽为 $\frac{1}{2}(a-2b)$，高为 $b$。体积为 $(a-2b) \times \frac{1}{2}(a-2b) \times b =$ $\frac{1}{2}b(a-2b)^2$。
③ 图1无盖的体积为 $b(a-2b)^2$。显然图1的体积是图2体积的 $2$ 倍。
(3) 对于有盖长方体（长$6$，宽$4$，高$3$），展开图要获得最大周长，就要尽量采用“1-4-1”长条状展开（如十字架形），使得尽量多且长的边暴露在外围。最大外围周长为 $54$。
(4) 对于缺一个 $6 \times 4$ 面的无盖长方体，想要展开图周长最小，应选择紧凑的“十字”展开，把较短的边暴露在外。最小周长为 $36$。
20．下图是由 7 个小正方体（每个小正方体的棱长都是1）所堆成的几何体。
请画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图。
请画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图。
【参考答案与解析】
解：根据三视图法则“主视图：长对正；俯视图：宽相等；左视图：高平齐”，绘制在网格中如下：
解：根据三视图法则“主视图：长对正；俯视图：宽相等；左视图：高平齐”，绘制在网格中如下：
从正面看
从左面看
从上面看
21．如图，请你想一想，哪些图形可以围成正方体的盒子？
【参考答案与解析】
解：正方体展开图有四种经典类型：
第一种：“1-4-1”结构。第 (1) 幅图符合。
第二种：“2-2-2”阶梯结构。第 (3) 幅图符合。
第三种：“3-3”结构。只有一种展开图，第 (4) 图虽然也是每行3个，但是由于含有“田”字格结构（中间田字），折叠必有面重合，故(4)不行。
第四种：“1-3-2”结构或“2-3-1”结构。第 (2) 幅图属于此列，符合。
综上所述：题中图形 (1)、(2)、(3) 可以围成正方体的盒子。
解：正方体展开图有四种经典类型：
第一种：“1-4-1”结构。第 (1) 幅图符合。
第二种：“2-2-2”阶梯结构。第 (3) 幅图符合。
第三种：“3-3”结构。只有一种展开图，第 (4) 图虽然也是每行3个，但是由于含有“田”字格结构（中间田字），折叠必有面重合，故(4)不行。
第四种：“1-3-2”结构或“2-3-1”结构。第 (2) 幅图属于此列，符合。
综上所述：题中图形 (1)、(2)、(3) 可以围成正方体的盒子。
22．如图是由 11 个大小相同的正方体搭成的几何体。
(1) 画出从正面看、从左面看和从上面看形状图。
(2) 想不改变从三个方向看的形状图，在几何体上最多可以添加 _______ 个相同的正方体。
(1) 画出从正面看、从左面看和从上面看形状图。
(2) 想不改变从三个方向看的形状图，在几何体上最多可以添加 _______ 个相同的正方体。
【参考答案与解析】
(1) 三视图绘制如下：
(2) 通过观察俯视图可知底层的排布呈十字型，主视图和左视图限制了各个位置的最高层数。在这个特定结构中，仅在十字中央（正中间，被四周完全包裹遮挡）的第二层可以偷偷隐藏一个方块而不改变三视图。因此最多可以添加 1 个相同的正方体。
(1) 三视图绘制如下：
从正面看
从左面看
从上面看
(2) 通过观察俯视图可知底层的排布呈十字型，主视图和左视图限制了各个位置的最高层数。在这个特定结构中，仅在十字中央（正中间，被四周完全包裹遮挡）的第二层可以偷偷隐藏一个方块而不改变三视图。因此最多可以添加 1 个相同的正方体。
23．如图，有两个形状大小完全相同的长方体木块，其长、宽、高分别是 4厘米、3厘米、2厘米。现将这两个木块拼成一个新的长方体，如果新的长方体中有两个面恰好是正方形，求新的长方体的棱长的和。
【参考答案与解析】
解：原长方体的长宽高分别为 4, 3, 2。
将两个这样的长方体拼接在一起，相当于某一个维度的长度翻倍。
可能的拼接结果尺寸有：
① 长对接：$8 \times 3 \times 2$
② 宽对接：$4 \times 6 \times 2$
③ 高对接：$4 \times 3 \times 4$
题目要求：新长方体中有两个面恰好是正方形。
观察这三种尺寸，只有第③种尺寸 $4 \times 3 \times 4$ 中，包含了边长为 $4 \times 4$ 的正方形面。
因此新长方体的长、宽、高为 $4$厘米, $3$厘米, $4$厘米。
新长方体的棱长总和 $= 4 \times (长 + 宽 + 高) = 4 \times (4 + 3 + 4) = 4 \times 11 =$ $44\text{ (厘米)}$。
解：原长方体的长宽高分别为 4, 3, 2。
将两个这样的长方体拼接在一起，相当于某一个维度的长度翻倍。
可能的拼接结果尺寸有：
① 长对接：$8 \times 3 \times 2$
② 宽对接：$4 \times 6 \times 2$
③ 高对接：$4 \times 3 \times 4$
题目要求：新长方体中有两个面恰好是正方形。
观察这三种尺寸，只有第③种尺寸 $4 \times 3 \times 4$ 中，包含了边长为 $4 \times 4$ 的正方形面。
因此新长方体的长、宽、高为 $4$厘米, $3$厘米, $4$厘米。
新长方体的棱长总和 $= 4 \times (长 + 宽 + 高) = 4 \times (4 + 3 + 4) = 4 \times 11 =$ $44\text{ (厘米)}$。
24．图1是三棱柱和圆柱，将图1中的圆柱沿竖直方向切开后，得到图2的剩余几何体。
(1) 图2中的几何体与棱柱、圆柱有很多相同点，请你列举 2 条与棱柱或圆柱的相同点；
(2) 如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法。
图 1
图 2
(2) 如何能求出图2中几何体的体积？请写出你的想法。
【参考答案与解析】
(1) 解：相同点列举（写出任意两条均可）：
1. 它们都有上下两个形状大小完全相同的底面且互相平行。
2. 它们的体积都可以用统一公式计算：$V = 底面积 \times 高$。
3. 它们都可以由底面沿着垂直于底面的方向平移形成（即面动成体）。
(2) 解：方法一（数学计算法）：求出它底面（被切过的半圆面）的面积，再测量出它的高，利用柱体体积公式 $V = 底面积 \times 高$ 进行计算。
方法二（物理排水法）：将该几何体放入盛满水的规则量器容器中，完全浸没后，排开的水的体积即为该几何体的体积。
(1) 解：相同点列举（写出任意两条均可）：
1. 它们都有上下两个形状大小完全相同的底面且互相平行。
2. 它们的体积都可以用统一公式计算：$V = 底面积 \times 高$。
3. 它们都可以由底面沿着垂直于底面的方向平移形成（即面动成体）。
(2) 解：方法一（数学计算法）：求出它底面（被切过的半圆面）的面积，再测量出它的高，利用柱体体积公式 $V = 底面积 \times 高$ 进行计算。
方法二（物理排水法）：将该几何体放入盛满水的规则量器容器中，完全浸没后，排开的水的体积即为该几何体的体积。