🌟 6.3 角 同步练习
一、 单选题 (1-6)
1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 的大小关系为（ ）
2．如果 $\angle AOB = 50^\circ$，$\angle BOC = 30^\circ$，那么 $\angle AOC$ 的度数是（ ）
3．如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则 $\angle AOB$ 和 $\angle DOC$ 的大小关系是（ ）
4．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（ ）
5．如图所示，将一块直角三角板的直角顶点 $O$ 放在直尺的一边上，如果 $\angle 1 = 35^\circ$，那么 $\angle 2 =$ （ ）
6．把 $30^\circ 30'$ 化为用度表示，下列正确的是（ ）
二、 填空题 (7-10)
7．在上午 10时30分，时钟的时针与分针所成的角（夹角较小者）的度数为 $^\circ$．
8．如图，射线 $OA$ 表示的方向是 ．
9．计算：$90^\circ - 35^\circ 42'$ ＝ $^\circ$ $'$ ．
10．已知 $\angle AOB = 80^\circ$，射线 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线，且 $\angle COD = 20^\circ$，那么 $\angle BOD$ 的度数是 $^\circ$．
三、 解答题 (11-12)
11．余角和补角的综合应用：
(1) 已知 $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 互为余角，且 $\angle \alpha = 30^\circ$，求 $\angle \beta$ 的补角的度数；
(2) 一个角的补角比这个角的余角的 $3$ 倍少 $10^\circ$，求这个角的度数。
(1) 已知 $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 互为余角，且 $\angle \alpha = 30^\circ$，求 $\angle \beta$ 的补角的度数；
(2) 一个角的补角比这个角的余角的 $3$ 倍少 $10^\circ$，求这个角的度数。
【参考答案与解析】
(1) 解：因为 $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 互余，且 $\angle \alpha = 30^\circ$，
所以 $\angle \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。
$\angle \beta$ 的补角为：$180^\circ - \angle \beta = 180^\circ - 60^\circ =$ $120^\circ$。
(2) 解：设这个角为 $x^\circ$。
则这个角的余角为 $(90 - x)^\circ$，补角为 $(180 - x)^\circ$。
根据题意，列出方程：
$180 - x = 3(90 - x) - 10$
$180 - x = 270 - 3x - 10$
$180 - x = 260 - 3x$
$2x = 80$
$x = 40$
答：这个角的度数是 $40^\circ$。
(1) 解：因为 $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 互余，且 $\angle \alpha = 30^\circ$，
所以 $\angle \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。
$\angle \beta$ 的补角为：$180^\circ - \angle \beta = 180^\circ - 60^\circ =$ $120^\circ$。
(2) 解：设这个角为 $x^\circ$。
则这个角的余角为 $(90 - x)^\circ$，补角为 $(180 - x)^\circ$。
根据题意，列出方程：
$180 - x = 3(90 - x) - 10$
$180 - x = 270 - 3x - 10$
$180 - x = 260 - 3x$
$2x = 80$
$x = 40$
答：这个角的度数是 $40^\circ$。
12．如图，已知 $\angle AOB = 90^\circ$，$\angle BOC = 30^\circ$，$OM$ 平分 $\angle AOC$，$ON$ 平分 $\angle BOC$。
(1) 求 $\angle MON$ 的度数；
(2) 如果只给出条件 $\angle AOB = \alpha$（其他条件不变），你能求出 $\angle MON$ 的大小吗？写出推导过程。
(2) 如果只给出条件 $\angle AOB = \alpha$（其他条件不变），你能求出 $\angle MON$ 的大小吗？写出推导过程。
【参考答案与解析】
(1) 解：如图所示，$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$。
因为 $OM$ 平分 $\angle AOC$，所以 $\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$。
因为 $ON$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle NOC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$。
由图可知 $\angle MON = \angle MOC - \angle NOC = 60^\circ - 15^\circ =$ $45^\circ$。
(2) 解：能。推导过程如下：
由题意得，$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \angle BOC$。
因为 $OM$ 平分 $\angle AOC$，所以 $\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2}(\alpha + \angle BOC)$。
因为 $ON$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle NOC = \frac{1}{2} \angle BOC$。
所以 $\angle MON = \angle MOC - \angle NOC$
$= \frac{1}{2}(\alpha + \angle BOC) - \frac{1}{2}\angle BOC$
$= \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\angle BOC - \frac{1}{2}\angle BOC$
$= \frac{1}{2}\alpha$。
所以结论是 $\angle MON = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \alpha$，其大小与 $\angle BOC$ 的大小无关。
(1) 解：如图所示，$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$。
因为 $OM$ 平分 $\angle AOC$，所以 $\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$。
因为 $ON$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle NOC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$。
由图可知 $\angle MON = \angle MOC - \angle NOC = 60^\circ - 15^\circ =$ $45^\circ$。
(2) 解：能。推导过程如下：
由题意得，$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \angle BOC$。
因为 $OM$ 平分 $\angle AOC$，所以 $\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2}(\alpha + \angle BOC)$。
因为 $ON$ 平分 $\angle BOC$，所以 $\angle NOC = \frac{1}{2} \angle BOC$。
所以 $\angle MON = \angle MOC - \angle NOC$
$= \frac{1}{2}(\alpha + \angle BOC) - \frac{1}{2}\angle BOC$
$= \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\angle BOC - \frac{1}{2}\angle BOC$
$= \frac{1}{2}\alpha$。
所以结论是 $\angle MON = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \alpha$，其大小与 $\angle BOC$ 的大小无关。