🌟 第三章 代数式 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．当 $x=2$ 时，代数式 $-x^2+3x+1$ 的值是（ ）
2．已知 $x^2+x-1=0$，则代数式 $2x^2+2x+3$ 的值是（ ）
3．一个正方形的边长是 $a$，把这个正方形的边长增加 $1$ 后得到的正方形的面积是（ ）
4．按一定规律排列的多项式：$a+b$，$2a-b^3$，$3a+b^5$，$4a-b^7$，…，第 $n$ 个多项式是（ ）
5．当 $x=-1, y=2$ 时，代数式 $3x^2y-5$ 的值是（ ）
6．一列长 $a$ 米的队伍以每分钟 $60$ 米的速度向前行进，队尾一名同学用 $1$ 分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程是（ ）米。
7．已知 $x+3y=2$，则 $2x+6y-1$ 的值是（ ）
8．某研究结果显示，由父母的身高预测子女身高的公式为：若父亲的身高为 $a$，母亲的身高为 $b$，则儿子成年后的身高约为 $\frac{1.08(a+b)}{2}$，女儿成年后的身高约为 $\frac{0.923a+b}{2}$。七年级女学生赵楠的父亲身高为 $175\text{cm}$，母亲身高为 $160\text{cm}$，请同学们根据公式预测一下赵楠成年后的身高约为（ ）
9．下列说法中，正确的是（ ）
10．等边 $\triangle ABC$ 在数轴上的位置如图所示，点 $C, A$ 对应的数分别为 $-1$ 和 $0$。若 $\triangle ABC$ 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点 $B$ 所对应的数为 $1$，则连续翻转 $2021$ 次后点 $C$ 所对应的数是（ ）
11．4月23日是“世界读书日”，学校开展了“读书分享”活动。淘气看一本书，看了 $a$ 天，平均每天看 $6$ 页，还剩 $42$ 页没看，这本书的总页数用含有字母的式子表示为（ ）
12．当 $x = 1$ 时，代数式 $-x^2+2x+1$ 的值是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．当 $m = -2$ 时，代数式 $-m^2+2$ 的值是 ．
14．程序问题中的框图算法源于我国古代数学名著《九章算术》。如图，当输入 $x$ 的值是 $1$ 时，根据程序，第1次输出结果是 $8$，将结果继续输入，第2次输出的结果是 $4$，…，这样下去，第8次输出的结果是 ．
15．用代数式表示 $x$ 的平方的倒数减去 $2$ 的差是 ．
16．下列各式：$2ab$，$b \times 3$，$\frac{a}{b}$，$a \div b$，$1\frac{1}{2}x$，其符合代数式书写规范的有 个。
17．（1）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张 $30$ 元，儿童票每张 $15$ 元。若购买 $x$ 张成人票和 $y$ 张儿童票，则共需花费 元。
（2）某种水果的售价是每千克 $m$ 元，用面值是 $100$ 元的人民币购买了 $5$ 千克，应找 元。
（2）某种水果的售价是每千克 $m$ 元，用面值是 $100$ 元的人民币购买了 $5$ 千克，应找 元。
三、 解答题 (18-24)
18．已知 $a$ 的相反数是 $-3$，$b$ 是最大的负整数，$c$ 没有倒数。
(1) $a$ 的值为 _________，$b$ 的值为 _________，$c$ 的值为 _________。
(2) 求 $a+b-c$ 的值。
(1) $a$ 的值为 _________，$b$ 的值为 _________，$c$ 的值为 _________。
(2) 求 $a+b-c$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：因为 $-3$ 的相反数是 $3$，所以 $a = 3$；
最大的负整数是 $-1$，所以 $b = -1$；
$0$ 没有倒数，所以 $c = 0$。
(2) 解：将求出的数值代入代数式：
$a+b-c = 3 + (-1) - 0 =$ $2$。
(1) 解：因为 $-3$ 的相反数是 $3$，所以 $a = 3$；
最大的负整数是 $-1$，所以 $b = -1$；
$0$ 没有倒数，所以 $c = 0$。
(2) 解：将求出的数值代入代数式：
$a+b-c = 3 + (-1) - 0 =$ $2$。
19．下图是“数值转换机”的示意图。
(1) 当输入 $x=2, y=-1$ 时，输出的数是多少？
(2) 当输入 $x=-1, y=-2$ 时，输出的数是多少？
(2) 当输入 $x=-1, y=-2$ 时，输出的数是多少？
【参考答案与解析】
【分析】由流程图列出代数式为：$\frac{x^3+y^2}{-3}$。
(1) 解：当 $x=2, y=-1$ 时，
原式 $= \frac{2^3 + (-1)^2}{-3} = \frac{8 + 1}{-3} = \frac{9}{-3} =$ $-3$。
(2) 解：当 $x=-1, y=-2$ 时，
原式 $= \frac{(-1)^3 + (-2)^2}{-3} = \frac{-1 + 4}{-3} = \frac{3}{-3} =$ $-1$。
【分析】由流程图列出代数式为：$\frac{x^3+y^2}{-3}$。
(1) 解：当 $x=2, y=-1$ 时，
原式 $= \frac{2^3 + (-1)^2}{-3} = \frac{8 + 1}{-3} = \frac{9}{-3} =$ $-3$。
(2) 解：当 $x=-1, y=-2$ 时，
原式 $= \frac{(-1)^3 + (-2)^2}{-3} = \frac{-1 + 4}{-3} = \frac{3}{-3} =$ $-1$。
20．某商家销售一款定价 $1200$ 元的空调和 $300$ 元的电扇。“五一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一台空调送一台电扇；
方案二：空调和电扇都按定价的 $90\%$ 付款。
现某客户要到该卖场购买空调 $6$ 台，电扇 $x$ 台 ($x>6$)。
(1) 若该客户按方案一购买，需付款 _______ 元（用含 $x$ 的代数式表示）；若该客户按方案二购买，需付款 _______ 元（用含 $x$ 的代数式表示）；
(2) 若 $x=10$，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3) 当 $x=10$ 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并计算需付款多少元？
方案一：买一台空调送一台电扇；
方案二：空调和电扇都按定价的 $90\%$ 付款。
现某客户要到该卖场购买空调 $6$ 台，电扇 $x$ 台 ($x>6$)。
(1) 若该客户按方案一购买，需付款 _______ 元（用含 $x$ 的代数式表示）；若该客户按方案二购买，需付款 _______ 元（用含 $x$ 的代数式表示）；
(2) 若 $x=10$，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3) 当 $x=10$ 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并计算需付款多少元？
【参考答案与解析】
(1) 解：按方案一购买，只需付 6 台空调的钱以及剩下的 $(x-6)$ 台电扇的钱：
$1200 \times 6 + 300(x - 6) = 7200 + 300x - 1800 =$ $300x + 5400$ (元)；
按方案二购买，全部打九折：
$(1200 \times 6 + 300x) \times 0.9 = 7200 \times 0.9 + 270x =$ $270x + 6480$ (元)。
(2) 解：当 $x=10$ 时，
方案一需付款：$300 \times 10 + 5400 = 8400$ (元)；
方案二需付款：$270 \times 10 + 6480 = 9180$ (元)。
因为 $8400 < 9180$，所以按方案一购买较合算。
(3) 解：更为省钱的方案是组合购买：
先按方案一购买 6 台空调，可获赠 6 台电扇，花费 $1200 \times 6 = 7200$ (元)；
然后再按方案二购买剩下的 4 台电扇，花费 $300 \times 4 \times 0.9 = 1080$ (元)。
总花费 $= 7200 + 1080 =$ $8280$ (元)。
(1) 解：按方案一购买，只需付 6 台空调的钱以及剩下的 $(x-6)$ 台电扇的钱：
$1200 \times 6 + 300(x - 6) = 7200 + 300x - 1800 =$ $300x + 5400$ (元)；
按方案二购买，全部打九折：
$(1200 \times 6 + 300x) \times 0.9 = 7200 \times 0.9 + 270x =$ $270x + 6480$ (元)。
(2) 解：当 $x=10$ 时，
方案一需付款：$300 \times 10 + 5400 = 8400$ (元)；
方案二需付款：$270 \times 10 + 6480 = 9180$ (元)。
因为 $8400 < 9180$，所以按方案一购买较合算。
(3) 解：更为省钱的方案是组合购买：
先按方案一购买 6 台空调，可获赠 6 台电扇，花费 $1200 \times 6 = 7200$ (元)；
然后再按方案二购买剩下的 4 台电扇，花费 $300 \times 4 \times 0.9 = 1080$ (元)。
总花费 $= 7200 + 1080 =$ $8280$ (元)。
21．如图，某新修建的公园有一块长方形空地，园区管理人员计划在两个相同的四分之一圆形区域内种植郁金香，在两个相同的正方形区域内种植牡丹，剩余空地铺五彩石，相应的长度如图所示。
(已知由题意推出整个长方形长为 $5b$ m)
(1) 请用含 $\pi, b$ 的代数式表示出剩余空地铺五彩石的面积；
(2) 若每平方米所用五彩石的费用是 $100$ 元，当 $\pi \approx 3, b=10$ 时，求购买五彩石的总费用。
(1) 请用含 $\pi, b$ 的代数式表示出剩余空地铺五彩石的面积；
(2) 若每平方米所用五彩石的费用是 $100$ 元，当 $\pi \approx 3, b=10$ 时，求购买五彩石的总费用。
【参考答案与解析】
(1) 解：长方形总面积为 $5b \times 3b = 15b^2$。
两个正方形牡丹面积和为 $2 \times b^2 = 2b^2$。
两个四分之一郁金香圆形面积和为 $2 \times \frac{1}{4}\pi b^2 = \frac{1}{2}\pi b^2$。
剩余铺五彩石的面积 $= 15b^2 - 2b^2 - \frac{1}{2}\pi b^2 =$ $13b^2 - \frac{1}{2}\pi b^2$。
(2) 解：当 $\pi \approx 3, b=10$ 时，
五彩石面积 $= 13 \times 10^2 - \frac{1}{2} \times 3 \times 10^2 = 1300 - 150 = 1150 (\text{m}^2)$。
总费用 $= 1150 \times 100 =$ $115000$ (元)。
(1) 解：长方形总面积为 $5b \times 3b = 15b^2$。
两个正方形牡丹面积和为 $2 \times b^2 = 2b^2$。
两个四分之一郁金香圆形面积和为 $2 \times \frac{1}{4}\pi b^2 = \frac{1}{2}\pi b^2$。
剩余铺五彩石的面积 $= 15b^2 - 2b^2 - \frac{1}{2}\pi b^2 =$ $13b^2 - \frac{1}{2}\pi b^2$。
(2) 解：当 $\pi \approx 3, b=10$ 时，
五彩石面积 $= 13 \times 10^2 - \frac{1}{2} \times 3 \times 10^2 = 1300 - 150 = 1150 (\text{m}^2)$。
总费用 $= 1150 \times 100 =$ $115000$ (元)。
22．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式？
（1）$x+2y$； （2）$x>y$； （3）$S=\pi r^2$；
（4）$-5$； （5）$\frac{a}{b}$； （6）$x+1=2$。
（1）$x+2y$； （2）$x>y$； （3）$S=\pi r^2$；
（4）$-5$； （5）$\frac{a}{b}$； （6）$x+1=2$。
【参考答案与解析】
解：代数式是用运算符号把数字与字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。带有“$=$”、“$>$”、“$<$”等关系符号的式子不是代数式（如等式、不等式）。
所以：
是代数式的有：（1）、（4）、（5）；
不是代数式的有：（2）、（3）、（6）。
解：代数式是用运算符号把数字与字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。带有“$=$”、“$>$”、“$<$”等关系符号的式子不是代数式（如等式、不等式）。
所以：
是代数式的有：（1）、（4）、（5）；
不是代数式的有：（2）、（3）、（6）。
23．【生活情境·阶梯水费】
为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过 $20$ 吨，每吨水收费 $2$ 元；如果每户每月用水超过 $20$ 吨，则超过部分每吨水收费 $3$ 元。小红想算算她家每月的水费。
(1) 若小红家11月用水 $15$ 吨，水费是 ___________ 元；
(2) 若小红家12月用水 $a$ 吨 ($a>20$)，请写出小红家本月的水费。
为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过 $20$ 吨，每吨水收费 $2$ 元；如果每户每月用水超过 $20$ 吨，则超过部分每吨水收费 $3$ 元。小红想算算她家每月的水费。
(1) 若小红家11月用水 $15$ 吨，水费是 ___________ 元；
(2) 若小红家12月用水 $a$ 吨 ($a>20$)，请写出小红家本月的水费。
【参考答案与解析】
(1) 解：因为 $15 \le 20$，按照不超过部分标准收费：
$15 \times 2 =$ $30$ (元)。
(2) 解：因为 $a > 20$，水费分为两部分：
前 $20$ 吨费用：$20 \times 2 = 40$ (元)；
超出部分费用：$(a - 20) \times 3 = 3a - 60$ (元)。
总水费 $= 40 + 3a - 60 =$ $(3a - 20)$ 元。
(1) 解：因为 $15 \le 20$，按照不超过部分标准收费：
$15 \times 2 =$ $30$ (元)。
(2) 解：因为 $a > 20$，水费分为两部分：
前 $20$ 吨费用：$20 \times 2 = 40$ (元)；
超出部分费用：$(a - 20) \times 3 = 3a - 60$ (元)。
总水费 $= 40 + 3a - 60 =$ $(3a - 20)$ 元。
24．如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗 $0.6$ 厘米，每个铁环长 $4$ 厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态。
(1) $2$ 个、$3$ 个、$4$ 个铁环组成的链条长分别有多少？
(2) 设 $n$ 个铁环长为 $y$ 厘米，请用含 $n$ 的式子表示 $y$；
(3) 若要组成 $1.44$ 米长的链条，需要多少个铁环？
(2) 设 $n$ 个铁环长为 $y$ 厘米，请用含 $n$ 的式子表示 $y$；
(3) 若要组成 $1.44$ 米长的链条，需要多少个铁环？
【参考答案与解析】
(1) 解：每增加一个铁环，其实际增加的长度不是 $4$ 厘米，而要减去两个铁环粗度的重叠部分。
$2$ 个铁环长：$4 \times 2 - 0.6 \times 2 =$ $6.8$ (cm)；
$3$ 个铁环长：$4 \times 3 - 0.6 \times 4 =$ $9.6$ (cm)；
$4$ 个铁环长：$4 \times 4 - 0.6 \times 6 =$ $12.4$ (cm)。
(2) 解：$n$ 个铁环长为 $y$，共有 $(n-1)$ 处重叠，每处重叠扣除 $0.6 \times 2 = 1.2$ cm。
因此 $y = 4n - 1.2(n-1) = 4n - 1.2n + 1.2 =$ $2.8n + 1.2$。
(3) 解：$1.44$ 米 $= 144$ 厘米。
令 $2.8n + 1.2 = 144$，解方程得：
$2.8n = 142.8 \implies$ $n = 51$。
答：若要组成 $1.44$ 米长的链条，需要 $51$ 个铁环。
(1) 解：每增加一个铁环，其实际增加的长度不是 $4$ 厘米，而要减去两个铁环粗度的重叠部分。
$2$ 个铁环长：$4 \times 2 - 0.6 \times 2 =$ $6.8$ (cm)；
$3$ 个铁环长：$4 \times 3 - 0.6 \times 4 =$ $9.6$ (cm)；
$4$ 个铁环长：$4 \times 4 - 0.6 \times 6 =$ $12.4$ (cm)。
(2) 解：$n$ 个铁环长为 $y$，共有 $(n-1)$ 处重叠，每处重叠扣除 $0.6 \times 2 = 1.2$ cm。
因此 $y = 4n - 1.2(n-1) = 4n - 1.2n + 1.2 =$ $2.8n + 1.2$。
(3) 解：$1.44$ 米 $= 144$ 厘米。
令 $2.8n + 1.2 = 144$，解方程得：
$2.8n = 142.8 \implies$ $n = 51$。
答：若要组成 $1.44$ 米长的链条，需要 $51$ 个铁环。