🌟 第二章 有理数的运算 随堂同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．若 $ab<0$，且 $a+b<0$，则下列说法正确的是（ ）
2．已知 $|a|=5$ 且 $|b|=4$，且 $a+b<0$，则 $a-b$ 的值为（ ）
3．一种袋装面粉标准净重为 $50 \pm 0.2\text{kg}$，质监工作人员为了解这种面粉是否标准，测量了4袋，不合格的为（ ）
4．下列各对近似数中，精确度相同的是（ ）
5．计算 $(-2)^3$ 的结果是（ ）
6．用四舍五入法将数 $7.83695$ 精确到千分位的结果是（ ）
7．用四舍五入法按要求对 $0.05019$ 分别取近似值，其中错误的是（ ）
8．下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（ ）
9．为了节约用水，z市政府规定：家庭用水在$15\text{m}^3$ 以内（含）的按照每立方米 2元计算，$15\text{m}^3$ 到 $25\text{m}^3$（含）的按照每立方米 3元计算，超过 $25\text{m}^3$ 按照每立方米 4元计算。小丽家5月份用水量为 $30\text{m}^3$，那么小丽家本月水费共（ ）元．
10．若 $6 \square (-3) = -2$，则 $\square$ 表示的运算符号是（ ）
11．如图，已知 $a, b$ 是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（ ）
b
0
a
12．一个数的倒数是它本身，这个数是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．把式子 $(-4) + (+5) - (+3)$ 写成省略括号的形式是 ．
14．计算：$(-\frac{3}{4}) \div (-\frac{3}{8})$ = ．
15．观察下列等式规律：
$1+3=4=2^2$
$1+3+5=9=3^2$
$1+3+5+7=16=4^2$
根据规律填空：$1+3+5+7+9+...+2021$ = ．
$1+3=4=2^2$
$1+3+5=9=3^2$
$1+3+5+7=16=4^2$
根据规律填空：$1+3+5+7+9+...+2021$ = ．
16．华为某款手机在5G网络下能达的理论下载速度为 $603,000,000\text{B/s}$，将 $603,000,000$ 用科学记数法表示为 ．
17．绝对值大于 $0.5$ 且不大于 $2$ 的所有整数的积是 ．
三、 解答题 (18-24)
18．台风“莫利娅”登陆，给我国沿海造成影响，解放军驾驶冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民。
早晨从 A 地出发，约定向东为正方向，当天航行依次记录如下（单位：千米）：
$+16, -4, +8, -8, +14, -7, -11$．最后到达 B 地。
(1) B 地在 A 地的东面还是西面？与 A 地相距多少千米？
(2) 若冲锋舟每千米耗油 0.5升，油箱容量为 30升，求途中至少需要补充多少升油？
早晨从 A 地出发，约定向东为正方向，当天航行依次记录如下（单位：千米）：
$+16, -4, +8, -8, +14, -7, -11$．最后到达 B 地。
(1) B 地在 A 地的东面还是西面？与 A 地相距多少千米？
(2) 若冲锋舟每千米耗油 0.5升，油箱容量为 30升，求途中至少需要补充多少升油？
【参考答案与解析】
(1) 解：将各数相加求位置：
$(+16) + (-4) + (+8) + (-8) + (+14) + (-7) + (-11)$
$= 16 - 4 + 8 - 8 + 14 - 7 - 11 = 8$ (千米)
结果为正数，说明 B 地在 A 地的东面，与 A 地相距 8 千米。
(2) 解：耗油量与总路程(即绝对值的和)有关：
总路程 = $|+16| + |-4| + |+8| + |-8| + |+14| + |-7| + |-11|$
$= 16 + 4 + 8 + 8 + 14 + 7 + 11 = 68$ (千米)
总耗油量 = $68 \times 0.5 = 34$ (升)。
因为 $34 > 30$，所以需要补充：$34 - 30 = 4$ (升)。
答：途中至少需要补充 4升油。
(1) 解：将各数相加求位置：
$(+16) + (-4) + (+8) + (-8) + (+14) + (-7) + (-11)$
$= 16 - 4 + 8 - 8 + 14 - 7 - 11 = 8$ (千米)
结果为正数，说明 B 地在 A 地的东面，与 A 地相距 8 千米。
(2) 解：耗油量与总路程(即绝对值的和)有关：
总路程 = $|+16| + |-4| + |+8| + |-8| + |+14| + |-7| + |-11|$
$= 16 + 4 + 8 + 8 + 14 + 7 + 11 = 68$ (千米)
总耗油量 = $68 \times 0.5 = 34$ (升)。
因为 $34 > 30$，所以需要补充：$34 - 30 = 4$ (升)。
答：途中至少需要补充 4升油。
19．基础计算：
(1) $-2 + 4$
(2) $(-3) \times \frac{1}{3}$
(3) $(-2)^2 - 5$
(4) $0 - (-1)$
(1) $-2 + 4$
(2) $(-3) \times \frac{1}{3}$
(3) $(-2)^2 - 5$
(4) $0 - (-1)$
【参考答案与解析】
(1) 解：原式 = 2。
(2) 解：原式 = -1。
(3) 解：先算乘方，$(-2)^2 = 4$，原式 $= 4 - 5 = $ -1。
(4) 解：减去一个数等于加上它的相反数，原式 $= 0 + 1 = $ 1。
(1) 解：原式 = 2。
(2) 解：原式 = -1。
(3) 解：先算乘方，$(-2)^2 = 4$，原式 $= 4 - 5 = $ -1。
(4) 解：减去一个数等于加上它的相反数，原式 $= 0 + 1 = $ 1。
20．下面各题，怎样算简便就怎样算：
(1) $(-12) + (+18) + (-8) + (+20)$
(2) $(-5.2) + 3.8 + 5.2 - 3.8$
(3) $(-\frac{1}{2}) \times 8 + (-\frac{1}{4}) \times 8$
(4) $(-24) \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$
(1) $(-12) + (+18) + (-8) + (+20)$
(2) $(-5.2) + 3.8 + 5.2 - 3.8$
(3) $(-\frac{1}{2}) \times 8 + (-\frac{1}{4}) \times 8$
(4) $(-24) \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$
【参考答案与解析】
(1) 解：利用加法交换律和结合律：
原式 $= [(-12) + (-8)] + [(+18) + (+20)] = -20 + 38 = $ 18。
(2) 解：利用互为相反数结合：
原式 $= [(-5.2) + 5.2] + (3.8 - 3.8) = 0 + 0 = $ 0。
(3) 解：利用乘法分配律逆运算：
原式 $= [(- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{4})] \times 8 = (- \frac{3}{4}) \times 8 = $ -6。
(4) 解：利用乘法分配律：
原式 $= (-24) \times \frac{1}{2} - (-24) \times \frac{1}{3} + (-24) \times \frac{1}{4}$
$= -12 - (-8) + (-6)$
$= -12 + 8 - 6 = $ -10。
(1) 解：利用加法交换律和结合律：
原式 $= [(-12) + (-8)] + [(+18) + (+20)] = -20 + 38 = $ 18。
(2) 解：利用互为相反数结合：
原式 $= [(-5.2) + 5.2] + (3.8 - 3.8) = 0 + 0 = $ 0。
(3) 解：利用乘法分配律逆运算：
原式 $= [(- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{4})] \times 8 = (- \frac{3}{4}) \times 8 = $ -6。
(4) 解：利用乘法分配律：
原式 $= (-24) \times \frac{1}{2} - (-24) \times \frac{1}{3} + (-24) \times \frac{1}{4}$
$= -12 - (-8) + (-6)$
$= -12 + 8 - 6 = $ -10。
21．计算题：
(1) $-2^2 \times \frac{1}{2} + 3$
(2) $(-3)^2 \div \frac{9}{2} - 1$
(1) $-2^2 \times \frac{1}{2} + 3$
(2) $(-3)^2 \div \frac{9}{2} - 1$
【参考答案与解析】
(1) 解：先算乘方，注意 $-2^2 = -4$。
原式 $= -4 \times \frac{1}{2} + 3 = -2 + 3 = $ 1。
(2) 解：先算乘方，$(-3)^2 = 9$。
原式 $= 9 \times \frac{2}{9} - 1 = 2 - 1 = $ 1。
(1) 解：先算乘方，注意 $-2^2 = -4$。
原式 $= -4 \times \frac{1}{2} + 3 = -2 + 3 = $ 1。
(2) 解：先算乘方，$(-3)^2 = 9$。
原式 $= 9 \times \frac{2}{9} - 1 = 2 - 1 = $ 1。
22．计算题：
(1) $(-1)^3 \times (-5) \div (-\frac{1}{5})$
(2) $| - \frac{1}{3} | \times 6 - (-2)^2$
(1) $(-1)^3 \times (-5) \div (-\frac{1}{5})$
(2) $| - \frac{1}{3} | \times 6 - (-2)^2$
【参考答案与解析】
(1) 解：先算乘方，$(-1)^3 = -1$。
原式 $= (-1) \times (-5) \times (-5) = 5 \times (-5) = $ -25。
(2) 解：先去绝对值和算乘方。
原式 $= \frac{1}{3} \times 6 - 4 = 2 - 4 = $ -2。
(1) 解：先算乘方，$(-1)^3 = -1$。
原式 $= (-1) \times (-5) \times (-5) = 5 \times (-5) = $ -25。
(2) 解：先去绝对值和算乘方。
原式 $= \frac{1}{3} \times 6 - 4 = 2 - 4 = $ -2。
23．混合运算综合题：
计算：$5^2 - (-2)^3 \times (-\frac{1}{4}) - 4$
计算：$5^2 - (-2)^3 \times (-\frac{1}{4}) - 4$
【参考答案与解析】
解：按照有理数混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减。
原式 $= 25 - (-8) \times (-\frac{1}{4}) - 4$
$= 25 - 2 - 4$
$= $ 19。
*(注：重点培养学生运算符号的准确处理)*
解：按照有理数混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减。
原式 $= 25 - (-8) \times (-\frac{1}{4}) - 4$
$= 25 - 2 - 4$
$= $ 19。
*(注：重点培养学生运算符号的准确处理)*
24．阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题。
【阅读】计算：$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4}$
解：原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$
$= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
请你利用上面的规律（裂项相消法）计算：
(1) $\frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + ... + \frac{1}{9 \times 10}$
(2) $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + ... + \frac{1}{2023 \times 2024}$
【阅读】计算：$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4}$
解：原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$
$= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
请你利用上面的规律（裂项相消法）计算：
(1) $\frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + ... + \frac{1}{9 \times 10}$
(2) $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + ... + \frac{1}{2023 \times 2024}$
【参考答案与解析】
(1) 解：原式 $= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + ... + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$
$= \frac{1}{4} - \frac{1}{10}$
$= \frac{5}{20} - \frac{2}{20} = $ $\frac{3}{20}$。
(2) 解：原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024})$
$= 1 - \frac{1}{2024}$
$= $ $\frac{2023}{2024}$。
(1) 解：原式 $= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + ... + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$
$= \frac{1}{4} - \frac{1}{10}$
$= \frac{5}{20} - \frac{2}{20} = $ $\frac{3}{20}$。
(2) 解：原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024})$
$= 1 - \frac{1}{2024}$
$= $ $\frac{2023}{2024}$。