🌟 第五章 一元一次方程 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列变形属于移项的是（ ）
2．下列各式是一元一次方程的是（ ）
3．一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶 $600\text{m}$，则早到 $2\text{min}$；若快递员开车每分钟行驶 $500\text{m}$，则要迟到 $2\text{min}$．关于嘉嘉和淇淇所列的方程，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为 $S$，则 $\frac{S}{600} + 2 = \frac{S}{500} - 2$；
淇淇：设规定时间为 $t$，则 $600(t - 2) = 500(t + 2)$
嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为 $S$，则 $\frac{S}{600} + 2 = \frac{S}{500} - 2$；
淇淇：设规定时间为 $t$，则 $600(t - 2) = 500(t + 2)$
4．$6$ 个人用 $35$ 天完成某项工程的 $\frac{1}{2}$，如果再增加工作效率相同的 $8$ 个人，那么完成这项工程共需要（ ）
5．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
6．小贤在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是 $x - 2 = \frac{1}{2}x + $ ?，怎么办呢？小贤想了想，便翻看书后答案，此方程的解是 $x = -6$，于是他很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）
7．下列方程变形中，错误的是（ ）
8．甲、乙两辆汽车从相距 $240\text{km}$ 的两地同时出发相向而行，甲车的速度为 $45\text{km/h}$，$3$ 小时后两车相遇，设乙车的速度为 $x\text{km/h}$，列方程得（ ）
9．下列各式是一元一次方程的是（ ）
10．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值 $10$ 斗谷子，一斗醑酒价值 $3$ 斗谷子，现在拿 $30$ 斗谷子，共换了 $5$ 斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有 $x$ 斗，根据题意可列方程为（ ）
11．如图，在2024年1月的日历中，用带阴影的十字方框覆盖其中 $5$ 个数字，例如：$1，7，8，9，15$．现在移动十字方框，使其覆盖的 $5$ 个数之和等于 $115$，则此时十字方框正中心的数位于（ ）列
| 日 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| 28 | 29 | 30 | 31 |
12．《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数，金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出 $400$ 钱，会多出 $3400$ 钱；每人出 $300$ 钱，会多出 $100$ 钱．合伙人数、金价是多少？通过分析可以确定金价为（ ）钱
二、 填空题 (13-17)
13．当 $x = -2$ 时，式子 $2ax - 5$ 与式子 $a - 2x$ 的值相等，则 $a =$ ．
14．已知下列方程：① $x - 2 = \frac{2}{x}$；② $0.3x = 1$；③ $\frac{x}{2} = 5x - 1$；④ $x^2 - 4x = 3$；⑤ $x = 0$；⑥ $x + 2y = 0$．其中是一元一次方程的有 （填序号）．
15．关于 $x$ 的方程 $2a = x + 1 + 6$ 的解是 $x = a$，现给出另一个关于 $x$ 的方程 $14(x - 1) = 8(x - 1) + 6$，则它的解是 ．
16．如图，已知 $A$，$B$ 两点在数轴上，点 $A$ 表示的数为 $-10$，点 $B$ 表示的数为 $30$，点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从点 $A$ 向右运动，点 $Q$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度从点 $B$ 向右运动，其中点 $P$、点 $Q$ 同时出发，经过 秒，点 $P$、点 $Q$ 分别到原点的距离相等．
17．用铝片做饮料瓶，每张铝片可制瓶身 $16$ 个或制瓶底 $43$ 个，一个瓶身与两个瓶底配成一套，现有 $150$ 张铝片，用 张制瓶身， 张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶．
三、 解答题 (18-24)
18．某商品按定价出售，每个可获得利润 $40$ 元，如果按定价的 $80\%$ 出售 $10$ 件与按定价每个减 $15$ 元出售 $8$ 件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？
【参考答案与解析】
解：设这种商品每件定价 $x$ 元。
因为按定价出售每个可获得利润 $40$ 元，所以成本价为 $(x - 40)$ 元。
按定价的 $80\%$ 出售 $10$ 件的利润为：$10 \times [0.8x - (x - 40)]$。
按定价每个减 $15$ 元出售 $8$ 件的利润为：$8 \times [(x - 15) - (x - 40)]$。
根据利润相等列出方程：
$10[0.8x - (x - 40)] = 8[(x - 15) - (x - 40)]$
$10(-0.2x + 40) = 8(25)$
$-2x + 400 = 200$
$-2x = -200 \implies x = 100$
答：这种商品每件定价 $100$ 元。
解：设这种商品每件定价 $x$ 元。
因为按定价出售每个可获得利润 $40$ 元，所以成本价为 $(x - 40)$ 元。
按定价的 $80\%$ 出售 $10$ 件的利润为：$10 \times [0.8x - (x - 40)]$。
按定价每个减 $15$ 元出售 $8$ 件的利润为：$8 \times [(x - 15) - (x - 40)]$。
根据利润相等列出方程：
$10[0.8x - (x - 40)] = 8[(x - 15) - (x - 40)]$
$10(-0.2x + 40) = 8(25)$
$-2x + 400 = 200$
$-2x = -200 \implies x = 100$
答：这种商品每件定价 $100$ 元。
19．解方程：
(1) $7x - 4 = 5x$
(2) $\frac{3x+2}{2} - \frac{x-5}{3} = 1$
(3) $15(200+x) - 10(300-x) = 5400$
(1) $7x - 4 = 5x$
(2) $\frac{3x+2}{2} - \frac{x-5}{3} = 1$
(3) $15(200+x) - 10(300-x) = 5400$
【参考答案与解析】
(1) 解：移项，合并同类项，可得：
$7x - 5x = 4$
$2x = 4 \implies x = 2$
(2) 解：去分母，可得：
$3(3x + 2) - 2(x - 5) = 6$
去括号，可得：$9x + 6 - 2x + 10 = 6$
移项，合并同类项，可得：$7x = -10$
系数化为1，可得：$x = -\frac{10}{7}$
(3) 解：去括号得：
$3000 + 15x - 3000 + 10x = 5400$
移项合并得：$25x = 5400$
解得：$x = 216$
(1) 解：移项，合并同类项，可得：
$7x - 5x = 4$
$2x = 4 \implies x = 2$
(2) 解：去分母，可得：
$3(3x + 2) - 2(x - 5) = 6$
去括号，可得：$9x + 6 - 2x + 10 = 6$
移项，合并同类项，可得：$7x = -10$
系数化为1，可得：$x = -\frac{10}{7}$
(3) 解：去括号得：
$3000 + 15x - 3000 + 10x = 5400$
移项合并得：$25x = 5400$
解得：$x = 216$
20．解方程：$\frac{y+2}{4} - \frac{2y-3}{6} = 1$
【参考答案与解析】
解：去分母，得：
$3(y + 2) - 2(2y - 3) = 12$
去括号，得：
$3y + 6 - 4y + 6 = 12$
移项合并同类项，得：
$-y + 12 = 12$
$-y = 0 \implies y = 0$
解：去分母，得：
$3(y + 2) - 2(2y - 3) = 12$
去括号，得：
$3y + 6 - 4y + 6 = 12$
移项合并同类项，得：
$-y + 12 = 12$
$-y = 0 \implies y = 0$
21．解方程：
(1) $2(x+8) = 3(x-1)$
(2) $x - 1 = \frac{4-(2x-1)}{2}$
(1) $2(x+8) = 3(x-1)$
(2) $x - 1 = \frac{4-(2x-1)}{2}$
【参考答案与解析】
(1) 解：去括号得：$2x + 16 = 3x - 3$
移项得：$2x - 3x = -3 - 16$
合并同类项得：$-x = -19$
解得：$x = 19$
(2) 解：去分母得：$2(x - 1) = 4 - (2x - 1)$
去括号得：$2x - 2 = 4 - 2x + 1$
移项得：$2x + 2x = 4 + 1 + 2$
合并同类项得：$4x = 7$
解得：$x = \frac{7}{4}$
(1) 解：去括号得：$2x + 16 = 3x - 3$
移项得：$2x - 3x = -3 - 16$
合并同类项得：$-x = -19$
解得：$x = 19$
(2) 解：去分母得：$2(x - 1) = 4 - (2x - 1)$
去括号得：$2x - 2 = 4 - 2x + 1$
移项得：$2x + 2x = 4 + 1 + 2$
合并同类项得：$4x = 7$
解得：$x = \frac{7}{4}$
22．小丽做作业时解一元一次方程 $\frac{2x-1}{2} - \frac{x+1}{3} = 1$ 的步骤如下：
解：去分母，得 $3(2x-1) - 2(x+1) = 1$ ……第一步
去括号，得 $6x - 3 - 2x - 2 = 1$ ……第二步
移项，得 $6x - 2x = 1 + 3 + 2$ ……第三步
合并同类项，得 $4x = 6$ ……第四步
系数化为1，得 $x = \frac{3}{2}$ ……第五步
(1) 去分母的依据是 ____________ ；小丽的解答过程正确吗？答：____________ （“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是第 ____________ 步．
(2) 请写出正确的解答过程．
解：去分母，得 $3(2x-1) - 2(x+1) = 1$ ……第一步
去括号，得 $6x - 3 - 2x - 2 = 1$ ……第二步
移项，得 $6x - 2x = 1 + 3 + 2$ ……第三步
合并同类项，得 $4x = 6$ ……第四步
系数化为1，得 $x = \frac{3}{2}$ ……第五步
(1) 去分母的依据是 ____________ ；小丽的解答过程正确吗？答：____________ （“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是第 ____________ 步．
(2) 请写出正确的解答过程．
【参考答案与解析】
(1) 解：去分母的依据是 等式的基本性质2；小丽的解答过程 不正确，最早出现错误的步骤是第 一 步（方程右边的常数项 $1$ 漏乘了公分母 $6$）。
(2) 正确解答过程如下：
解：去分母，得 $3(2x-1) - 2(x+1) = 6$
去括号，得 $6x - 3 - 2x - 2 = 6$
移项，得 $6x - 2x = 6 + 3 + 2$
合并同类项，得 $4x = 11$
系数化为1，得 $x = \frac{11}{4}$
(1) 解：去分母的依据是 等式的基本性质2；小丽的解答过程 不正确，最早出现错误的步骤是第 一 步（方程右边的常数项 $1$ 漏乘了公分母 $6$）。
(2) 正确解答过程如下：
解：去分母，得 $3(2x-1) - 2(x+1) = 6$
去括号，得 $6x - 3 - 2x - 2 = 6$
移项，得 $6x - 2x = 6 + 3 + 2$
合并同类项，得 $4x = 11$
系数化为1，得 $x = \frac{11}{4}$
23．制作一张桌子要用$1$ 个桌面和$4$ 条桌腿，木材 $1\text{m}^3$ 可制作 $20$ 个桌面，或者制作 $400$ 条桌腿，现有木材 $12\text{m}^3$，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【参考答案与解析】
解：设共做了 $x$ 张桌子，则需要的桌面数量为 $x$ 个，桌腿数量为 $4x$ 条。
制作 $x$ 个桌面需要的木材为：$\frac{x}{20}\text{m}^3$。
制作 $4x$ 条桌腿需要的木材为：$\frac{4x}{400}\text{m}^3 = \frac{x}{100}\text{m}^3$。
根据木材总量为 $12\text{m}^3$，列出方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x}{100} = 12$
去分母得：$5x + x = 1200$
$6x = 1200 \implies x = 200$
此时，制作桌面的用料为：$\frac{200}{20} = 10\text{m}^3$。
制作桌腿的用料为：$12 - 10 = 2\text{m}^3$。
答：应用 $10\text{m}^3$ 木材作桌面，$2\text{m}^3$ 木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子。
解：设共做了 $x$ 张桌子，则需要的桌面数量为 $x$ 个，桌腿数量为 $4x$ 条。
制作 $x$ 个桌面需要的木材为：$\frac{x}{20}\text{m}^3$。
制作 $4x$ 条桌腿需要的木材为：$\frac{4x}{400}\text{m}^3 = \frac{x}{100}\text{m}^3$。
根据木材总量为 $12\text{m}^3$，列出方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x}{100} = 12$
去分母得：$5x + x = 1200$
$6x = 1200 \implies x = 200$
此时，制作桌面的用料为：$\frac{200}{20} = 10\text{m}^3$。
制作桌腿的用料为：$12 - 10 = 2\text{m}^3$。
答：应用 $10\text{m}^3$ 木材作桌面，$2\text{m}^3$ 木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子。
24．根据题意，设未知数并列出方程．
(1) 一块长方形土地的周长为 $18$ 米，长是宽的 $2$ 倍多 $3$ 米，求长方形的宽．
(2) 某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共 $50$ 米，共花费 $690$ 元．其中蓝色布料每米 $13$ 元，白色布料每米 $15$ 元，求两种布料各买多少米？
(3) 某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得 $2$ 分，负一场得 $1$ 分，该队共赛了 $9$ 场，共得 $15$ 分，该队胜了多少场？
(1) 一块长方形土地的周长为 $18$ 米，长是宽的 $2$ 倍多 $3$ 米，求长方形的宽．
(2) 某制衣店现购买蓝色、白色两种布料共 $50$ 米，共花费 $690$ 元．其中蓝色布料每米 $13$ 元，白色布料每米 $15$ 元，求两种布料各买多少米？
(3) 某中学七年级一班足球队参加比赛，胜一场得 $2$ 分，负一场得 $1$ 分，该队共赛了 $9$ 场，共得 $15$ 分，该队胜了多少场？
【参考答案与解析】
(1) 解：设长方形的宽为 $x$ 米，则长为 $(2x + 3)$ 米。
根据题意，列方程得：$2[x + (2x + 3)] = 18$。
(2) 解：设买蓝色布料 $x$ 米，则买白色布料 $(50 - x)$ 米。
根据题意，列方程得：$13x + 15(50 - x) = 690$。
(3) 解：设该队胜了 $x$ 场，则该队负了 $(9 - x)$ 场。
根据题意，列方程得：$2x + 1 \times (9 - x) = 15$。
(1) 解：设长方形的宽为 $x$ 米，则长为 $(2x + 3)$ 米。
根据题意，列方程得：$2[x + (2x + 3)] = 18$。
(2) 解：设买蓝色布料 $x$ 米，则买白色布料 $(50 - x)$ 米。
根据题意，列方程得：$13x + 15(50 - x) = 690$。
(3) 解：设该队胜了 $x$ 场，则该队负了 $(9 - x)$ 场。
根据题意，列方程得：$2x + 1 \times (9 - x) = 15$。