🌟 第六章 几何图形初步 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．若 $\angle \alpha = 35^{\circ}$，则 $\angle \alpha$ 的余角为（ ）
2．在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，共有（ ）个平面图形。
3．如图，已知线段 $a, b$，作一条线段 $AB$ 使它等于 $2a-b$。正确的作法步骤顺序应为（ ）
① 作射线 $Ox$；
② 用圆规量出线段 $b$ 的长，在线段 $OM$ 上截取 $MB = b$；
③ 用圆规量出线段 $a$ 的长，在射线 $Ox$ 上顺次截取 $OC = a, CM = a$。
② 用圆规量出线段 $b$ 的长，在线段 $OM$ 上截取 $MB = b$；
③ 用圆规量出线段 $a$ 的长，在射线 $Ox$ 上顺次截取 $OC = a, CM = a$。
4．如图，点 $C$ 在线段 $AB$ 上，点 $D$ 是 $BC$ 的中点，如果 $AB=12$，$AC=4$，那么 $AD$ 的长度是（ ）
5．下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
6．一个角的补角是它的余角的 $3$ 倍，则这个角的度数是（ ）
7．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
8．把一根木条固定在墙上，至少需要两枚钉子，这样做的数学道理是（ ）
9．如果 $\angle A=35^{\circ}18'$，$\angle B=35.18^{\circ}$，$\angle C=35.3^{\circ}$，那么它们的大小关系是（ ）
10．时钟在 8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
11．用一个平面去截下列立体图形，截面不可能是圆的几何体是（ ）
12．若 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 互为余角，$\angle 1$ 和 $\angle 3$ 互为补角，$\angle 2$ 和 $\angle 3$ 的和等于 $120^{\circ}$，则 $\angle 1$ 的度数是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．把角度化为小数形式：$45^{\circ}24'$ = $^{\circ}$ ．
14．如图，已知点 $C$ 为线段 $AB$ 的中点，点 $D$ 为 $CB$ 的中点，若 $AD=6$，则 $AB=$ ．
15．若 $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 互补，且 $\angle \alpha = 60^{\circ}$，则 $\angle \beta =$ $^{\circ}$ ．
16．一个多边形从一个顶点最多能引出 $5$ 条对角线，则这个多边形是 边形。
17．将几何体表面展开时，圆锥的侧面展开图是 形；圆柱的侧面展开图是 形。
三、 解答题 (18-24)
18．如图，已知 $\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 30^{\circ}$，射线 $OM$ 平分 $\angle AOC$，射线 $ON$ 平分 $\angle BOC$。求 $\angle MON$ 的度数。
【参考答案与解析】
解：因为 $\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 30^{\circ}$，
所以 $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
因为 $OM$ 平分 $\angle AOC$，
所以 $\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为 $ON$ 平分 $\angle BOC$，
所以 $\angle CON = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$。
所以 $\angle MON = \angle MOC + \angle CON = 30^{\circ} + 15^{\circ} = $ $45^{\circ}$。
解：因为 $\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 30^{\circ}$，
所以 $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
因为 $OM$ 平分 $\angle AOC$，
所以 $\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为 $ON$ 平分 $\angle BOC$，
所以 $\angle CON = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$。
所以 $\angle MON = \angle MOC + \angle CON = 30^{\circ} + 15^{\circ} = $ $45^{\circ}$。
19．已知线段 $AB=10\text{cm}$，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，点 $D$ 在直线 $AB$ 上，且 $CD=2\text{cm}$，求线段 $AD$ 的长。
*(提示：注意点 D 的位置有两种可能情况)*
*(提示：注意点 D 的位置有两种可能情况)*
【参考答案与解析】
解：因为点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=10\text{cm}$，
所以 $AC = BC = 5\text{cm}$。
因为点 $D$ 在直线 $AB$ 上，所以需要分两种情况讨论：
情况一：当点 $D$ 在点 $C$ 和点 $B$ 之间时，
$AD = AC + CD = 5 + 2 = $ $7\text{cm}$。
情况二：当点 $D$ 在点 $A$ 和点 $C$ 之间时，
$AD = AC - CD = 5 - 2 = $ $3\text{cm}$。
综上所述，线段 $AD$ 的长为 $7\text{cm}$ 或 $3\text{cm}$。
解：因为点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=10\text{cm}$，
所以 $AC = BC = 5\text{cm}$。
因为点 $D$ 在直线 $AB$ 上，所以需要分两种情况讨论：
情况一：当点 $D$ 在点 $C$ 和点 $B$ 之间时，
$AD = AC + CD = 5 + 2 = $ $7\text{cm}$。
情况二：当点 $D$ 在点 $A$ 和点 $C$ 之间时，
$AD = AC - CD = 5 - 2 = $ $3\text{cm}$。
综上所述，线段 $AD$ 的长为 $7\text{cm}$ 或 $3\text{cm}$。
20．根据实际生活经验和空间想象，解答关于几何体表面的包装问题：
(1) 做一个墨水瓶包装盒（长方体），已知它的长、宽、高分别为 $a\text{ cm}, b\text{ cm}, c\text{ cm}$，那么做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为多少？
(2) 做一个粉笔包装盒（长方体），其长、宽、高分别为 $1.5a\text{ cm}, 2b\text{ cm}, 2c\text{ cm}$，做一个粉笔包装盒需要纸片面积是多少？
(1) 做一个墨水瓶包装盒（长方体），已知它的长、宽、高分别为 $a\text{ cm}, b\text{ cm}, c\text{ cm}$，那么做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为多少？
(2) 做一个粉笔包装盒（长方体），其长、宽、高分别为 $1.5a\text{ cm}, 2b\text{ cm}, 2c\text{ cm}$，做一个粉笔包装盒需要纸片面积是多少？
【参考答案与解析】
(1) 解：长方体的表面积计算公式为 $S = 2(\text{长}\times\text{宽} + \text{长}\times\text{高} + \text{宽}\times\text{高})$。
所以做一个墨水瓶包装盒需要的纸片面积为：
$(2ab + 2ac + 2bc)\text{ cm}^2$。
(2) 解：将新尺寸代入表面积公式：
$S = 2(1.5a \times 2b + 1.5a \times 2c + 2b \times 2c)$
$= 2(3ab + 3ac + 4bc)$
$= $ $(6ab + 6ac + 8bc)\text{ cm}^2$。
(1) 解：长方体的表面积计算公式为 $S = 2(\text{长}\times\text{宽} + \text{长}\times\text{高} + \text{宽}\times\text{高})$。
所以做一个墨水瓶包装盒需要的纸片面积为：
$(2ab + 2ac + 2bc)\text{ cm}^2$。
(2) 解：将新尺寸代入表面积公式：
$S = 2(1.5a \times 2b + 1.5a \times 2c + 2b \times 2c)$
$= 2(3ab + 3ac + 4bc)$
$= $ $(6ab + 6ac + 8bc)\text{ cm}^2$。
21．方位角计算：点 $A$ 在点 $O$ 的北偏东 $35^{\circ}$ 方向上，点 $B$ 在点 $O$ 的南偏西 $20^{\circ}$ 方向上。求 $\angle AOB$ 的度数。
【参考答案与解析】
解：建立南北和东西方向的坐标系，点 $O$ 为原点。
点 $A$ 的方向为北偏东 $35^{\circ}$，所以 $\angle AON$ (N表示正北方向) $= 35^{\circ}$。
点 $B$ 的方向为南偏西 $20^{\circ}$，所以 $\angle BOS$ (S表示正南方向) $= 20^{\circ}$。
因为正北方向和正南方向在一条直线上，构成平角 $180^{\circ}$。
正确的计算方式是：
南北轴构成 $180^{\circ}$ 直线，$\angle AON = 35^{\circ}$（顺时针），正西方向到南轴是 $90^{\circ}$，南轴到 $OB$ 是 $20^{\circ}$。
一条直线平分南北，东边角度 + 西边角度 = $180^{\circ}$。
从正北顺时针走到正南是 $180^{\circ}$。
$\angle AOB = \angle AOS(\text{北到南的平角}) - \angle AON + \angle SOB$
$= 180^{\circ} - 35^{\circ} + 20^{\circ}$
$= 145^{\circ} + 20^{\circ} = $ $165^{\circ}$。
解：建立南北和东西方向的坐标系，点 $O$ 为原点。
点 $A$ 的方向为北偏东 $35^{\circ}$，所以 $\angle AON$ (N表示正北方向) $= 35^{\circ}$。
点 $B$ 的方向为南偏西 $20^{\circ}$，所以 $\angle BOS$ (S表示正南方向) $= 20^{\circ}$。
因为正北方向和正南方向在一条直线上，构成平角 $180^{\circ}$。
正确的计算方式是：
南北轴构成 $180^{\circ}$ 直线，$\angle AON = 35^{\circ}$（顺时针），正西方向到南轴是 $90^{\circ}$，南轴到 $OB$ 是 $20^{\circ}$。
一条直线平分南北，东边角度 + 西边角度 = $180^{\circ}$。
从正北顺时针走到正南是 $180^{\circ}$。
$\angle AOB = \angle AOS(\text{北到南的平角}) - \angle AON + \angle SOB$
$= 180^{\circ} - 35^{\circ} + 20^{\circ}$
$= 145^{\circ} + 20^{\circ} = $ $165^{\circ}$。
22．如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成 $10$ 个三角形，求这个多边形的边数和对角线的总条数。
【参考答案与解析】
解：设这个多边形是 $n$ 边形。
由多边形性质可知，从 $n$ 边形的一个顶点出发引对角线，可以把多边形分割成 $n - 2$ 个三角形。
根据题意有：$n - 2 = 10$，解得：$n = 12$。
即这是一个十二边形。
任意一个 $n$ 边形对角线的总条数计算公式为：$\frac{n(n-3)}{2}$。
代入 $n=12$ 得：$\frac{12 \times (12 - 3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = $ $54$。
答：这个多边形的边数为 12，对角线的总条数为 54 条。
解：设这个多边形是 $n$ 边形。
由多边形性质可知，从 $n$ 边形的一个顶点出发引对角线，可以把多边形分割成 $n - 2$ 个三角形。
根据题意有：$n - 2 = 10$，解得：$n = 12$。
即这是一个十二边形。
任意一个 $n$ 边形对角线的总条数计算公式为：$\frac{n(n-3)}{2}$。
代入 $n=12$ 得：$\frac{12 \times (12 - 3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = $ $54$。
答：这个多边形的边数为 12，对角线的总条数为 54 条。