🌟 第四章 整式的加减 综合随堂练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列说法中正确的有（ ）
① $a$ 和 $0$ 都是单项式；
② $\frac{x-y}{7}$ 的次数是 $7$；
③ 单项式 $-\frac{2\pi x^2y}{3}$ 的系数为 $-\frac{2}{3}$；
④ $\frac{x}{2}$ 与 $\frac{2}{x}$ 都是单项式．
① $a$ 和 $0$ 都是单项式；
② $\frac{x-y}{7}$ 的次数是 $7$；
③ 单项式 $-\frac{2\pi x^2y}{3}$ 的系数为 $-\frac{2}{3}$；
④ $\frac{x}{2}$ 与 $\frac{2}{x}$ 都是单项式．
2．下列说法正确的有（ ）
3．下列去括号正确的是（ ）
4．已知代数式 $A_1=m, A_2=n$，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，即 $A_3 = m+n$，$A_4 = m+2n$，$A_5 = 2m+3n \dots$ 则下列说法正确的是（ ）
① 若 $m=1, n=1$，则 $A_6=8$；
② $A_4+A_5 = A_6$；
③ 前2024个式子中，$m$ 的系数为偶数的代数式有 $674$ 个；
④ 记前 $n$ 个式子的和为 $S_n$，则 $S_n = A_{n+2} - m$．
① 若 $m=1, n=1$，则 $A_6=8$；
② $A_4+A_5 = A_6$；
③ 前2024个式子中，$m$ 的系数为偶数的代数式有 $674$ 个；
④ 记前 $n$ 个式子的和为 $S_n$，则 $S_n = A_{n+2} - m$．
5．已知多项式 $(mx^2 + 3x - 2) - (-3x^2 + x - 1)$ 化简后不含 $x^2$ 项，则 $m$ 的值为（ ）
6．下列说法正确的是（ ）
7．二次多项式 $x^2+2x-3$ 的一次项系数是（ ）
8．观察下列算式：$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32$ …，则 $2^{2023}$ 的个位数字是（ ）
9．在下列各组代数式中，是同类项的是（ ）
10．关于多项式 $x^2-x+1$ 与 $2x^2+x-1$，下面说法正确的有（ ）
① 项数相同；② 次数相同；③ 都是按照 $x$ 的降幂排列；④ 和仍是多项式．
① 项数相同；② 次数相同；③ 都是按照 $x$ 的降幂排列；④ 和仍是多项式．
11．下列添括号错误的是（ ）
12．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．把多项式 $-x^3 + 2x^2 - 3x + 1$ 按字母 $x$ 的升幂排列是 ．
14．单项式 $-\frac{2a^2b^3c}{5}$ 的次数是 ．
15．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水。两船在静水中的速度都是 $a\text{ km/h}$，水流速度是 $b\text{ km/h}$，2小时后甲船比乙船多航行 $\text{km}$．
16．当 $k=$ 时，多项式 $3x^2 - 2kx^2 + x - 1$ 化简后不含 $x^2$ 项。
17．去括号：
(1) $a-(b-c)=$ ；
(2) $x+(-y+z)=$ ．
(1) $a-(b-c)=$ ；
(2) $x+(-y+z)=$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．去括号并化简：$2a^2 - 3a - (a^2 - 2a)$．
【参考答案与解析】
解：原式去括号得：
$= 2a^2 - 3a - a^2 + 2a$
合并同类项得：
$= (2-1)a^2 + (-3+2)a$
$= $ $a^2 - a$。
解：原式去括号得：
$= 2a^2 - 3a - a^2 + 2a$
合并同类项得：
$= (2-1)a^2 + (-3+2)a$
$= $ $a^2 - a$。
19．【观察与发现】
现有排列规律如下的几个单项式：$x, -2x^2, 3x^3, -4x^4, 5x^5, -6x^6, \dots$
(1) 直接写出：第 7 个单项式是 _________；第 8 个单项式是 _________；
(2) 第 $n$（$n$ 为大于 0 的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数。
现有排列规律如下的几个单项式：$x, -2x^2, 3x^3, -4x^4, 5x^5, -6x^6, \dots$
(1) 直接写出：第 7 个单项式是 _________；第 8 个单项式是 _________；
(2) 第 $n$（$n$ 为大于 0 的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数。
【参考答案与解析】
(1) 解：观察单项式规律可知，系数的绝对值与 $x$ 的指数相等，都是对应的项数。且奇数项为正，偶数项为负。
所以第 7 个单项式是：$7x^7$；第 8 个单项式是：$-8x^8$。
(2) 解：由上述规律可归纳出，第 $n$ 个单项式为：$(-1)^{n-1} n x^n$。
它的系数是：$(-1)^{n-1} n$；
它的次数是：$n$。
(1) 解：观察单项式规律可知，系数的绝对值与 $x$ 的指数相等，都是对应的项数。且奇数项为正，偶数项为负。
所以第 7 个单项式是：$7x^7$；第 8 个单项式是：$-8x^8$。
(2) 解：由上述规律可归纳出，第 $n$ 个单项式为：$(-1)^{n-1} n x^n$。
它的系数是：$(-1)^{n-1} n$；
它的次数是：$n$。
20．先化简，再求值：
(1) $(3a^2-ab) - 2(a^2-2ab)$，其中 $a=1, b=-1$。
(2) $2(x^2y-2xy) - (x^2y-3xy)$，其中 $x=-1, y=2$。
(1) $(3a^2-ab) - 2(a^2-2ab)$，其中 $a=1, b=-1$。
(2) $2(x^2y-2xy) - (x^2y-3xy)$，其中 $x=-1, y=2$。
【参考答案与解析】
(1) 解：原式 $= 3a^2 - ab - 2a^2 + 4ab$
$= a^2 + 3ab$
当 $a=1, b=-1$ 时，原式 $= 1^2 + 3 \times 1 \times (-1) = 1 - 3 =$ $-2$。
(2) 解：原式 $= 2x^2y - 4xy - x^2y + 3xy$
$= x^2y - xy$
当 $x=-1, y=2$ 时，原式 $= (-1)^2 \times 2 - (-1) \times 2 = 2 - (-2) = 2 + 2 =$ $4$。
(1) 解：原式 $= 3a^2 - ab - 2a^2 + 4ab$
$= a^2 + 3ab$
当 $a=1, b=-1$ 时，原式 $= 1^2 + 3 \times 1 \times (-1) = 1 - 3 =$ $-2$。
(2) 解：原式 $= 2x^2y - 4xy - x^2y + 3xy$
$= x^2y - xy$
当 $x=-1, y=2$ 时，原式 $= (-1)^2 \times 2 - (-1) \times 2 = 2 - (-2) = 2 + 2 =$ $4$。
21．某位同学做一道题：已知两个多项式 $A, B$，若 $A = 3x^2 - 2x + 1$，求 $A+B$ 的值。
他误将 $A+B$ 看成 $A-B$，求得错误结果为 $2x^2 - x + 3$。
(1) 求多项式 $B$ 的表达式；
(2) 求 $A+B$ 的正确答案。
他误将 $A+B$ 看成 $A-B$，求得错误结果为 $2x^2 - x + 3$。
(1) 求多项式 $B$ 的表达式；
(2) 求 $A+B$ 的正确答案。
【参考答案与解析】
(1) 解：由题意可得，$A - B = 2x^2 - x + 3$。
所以 $B = A - (2x^2 - x + 3)$
$= (3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - x + 3)$
$= 3x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + x - 3$
$= $ $x^2 - x - 2$。
(2) 解：正确的 $A+B$ 的值为：
$A+B = (3x^2 - 2x + 1) + (x^2 - x - 2)$
$= 3x^2 - 2x + 1 + x^2 - x - 2$
$= $ $4x^2 - 3x - 1$。
(1) 解：由题意可得，$A - B = 2x^2 - x + 3$。
所以 $B = A - (2x^2 - x + 3)$
$= (3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - x + 3)$
$= 3x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + x - 3$
$= $ $x^2 - x - 2$。
(2) 解：正确的 $A+B$ 的值为：
$A+B = (3x^2 - 2x + 1) + (x^2 - x - 2)$
$= 3x^2 - 2x + 1 + x^2 - x - 2$
$= $ $4x^2 - 3x - 1$。
22．先化简，再求值：
(1) $2(x^2-2xy) - 3(x^2-3xy)$，其中 $x=2, y=-1$。
(2) $3a^2b - 2ab^2 - (4a^2b - 4ab^2)$，其中 $a=-1, b=2$。
(3) $2x^2y - xy^2 - (x^2y + xy^2)$，其中 $x=3, y=-2$。
(1) $2(x^2-2xy) - 3(x^2-3xy)$，其中 $x=2, y=-1$。
(2) $3a^2b - 2ab^2 - (4a^2b - 4ab^2)$，其中 $a=-1, b=2$。
(3) $2x^2y - xy^2 - (x^2y + xy^2)$，其中 $x=3, y=-2$。
【参考答案与解析】
(1) 解：原式 $= 2x^2 - 4xy - 3x^2 + 9xy = -x^2 + 5xy$。
当 $x=2, y=-1$ 时，原式 $= -(2^2) + 5 \times 2 \times (-1) = -4 - 10 =$ $-14$。
(2) 解：原式 $= 3a^2b - 2ab^2 - 4a^2b + 4ab^2 = -a^2b + 2ab^2$。
当 $a=-1, b=2$ 时，原式 $= -(-1)^2 \times 2 + 2 \times (-1) \times 2^2 = -2 - 8 =$ $-10$。
(3) 解：原式 $= 2x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2 = x^2y - 2xy^2$。
当 $x=3, y=-2$ 时，原式 $= 3^2 \times (-2) - 2 \times 3 \times (-2)^2 = -18 - 2 \times 3 \times 4 = -18 - 24 =$ $-42$。
(1) 解：原式 $= 2x^2 - 4xy - 3x^2 + 9xy = -x^2 + 5xy$。
当 $x=2, y=-1$ 时，原式 $= -(2^2) + 5 \times 2 \times (-1) = -4 - 10 =$ $-14$。
(2) 解：原式 $= 3a^2b - 2ab^2 - 4a^2b + 4ab^2 = -a^2b + 2ab^2$。
当 $a=-1, b=2$ 时，原式 $= -(-1)^2 \times 2 + 2 \times (-1) \times 2^2 = -2 - 8 =$ $-10$。
(3) 解：原式 $= 2x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2 = x^2y - 2xy^2$。
当 $x=3, y=-2$ 时，原式 $= 3^2 \times (-2) - 2 \times 3 \times (-2)^2 = -18 - 2 \times 3 \times 4 = -18 - 24 =$ $-42$。
23．先化简，再求值：$3(a^2-2a) - 2(a^2-3a)$，其中 $a$ 是最小的正整数。
【参考答案与解析】
解：原式先去括号得：
$= 3a^2 - 6a - 2a^2 + 6a$
合并同类项得：
$= a^2$
因为 $a$ 是最小的正整数，所以 $a=1$。
当 $a=1$ 时，代入化简后的式子：
原式 $= 1^2 =$ $1$。
解：原式先去括号得：
$= 3a^2 - 6a - 2a^2 + 6a$
合并同类项得：
$= a^2$
因为 $a$ 是最小的正整数，所以 $a=1$。
当 $a=1$ 时，代入化简后的式子：
原式 $= 1^2 =$ $1$。
24．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如 $12$ 的“友好数”是 $21$。
(1) 填空：$23$、$45$ 的“友好数”分别是 _________、_________ ；
(2) 对于任意一个两位数，设它的个位数字为 $y$，十位数字为 $x$，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被 $11$ 整除。
(1) 填空：$23$、$45$ 的“友好数”分别是 _________、_________ ；
(2) 对于任意一个两位数，设它的个位数字为 $y$，十位数字为 $x$，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被 $11$ 整除。
【参考答案与解析】
(1) 解：由“友好数”的定义可得：
$23$ 交换数位后是 $32$；$45$ 交换数位后是 $54$。
(2) 证明：设一个任意的两位数，它的个位数字为 $y$，十位数字为 $x$（$x, y$ 均为正整数且 $1 \le x \le 9, 0 \le y \le 9$）。
则这个两位数可以表示为：$10x + y$。
它的“友好数”即个位变为 $x$，十位变为 $y$ 的两位数，可表示为：$10y + x$。
这两个数的和为：
$(10x + y) + (10y + x)$
$= 10x + y + 10y + x$
$= 11x + 11y$
$= 11(x+y)$
因为 $x, y$ 都是整数，所以 $(x+y)$ 也是整数，
说明它们的和含有因数 11。
因此，这个数与它的“友好数”之和一定能被 11 整除。
(1) 解：由“友好数”的定义可得：
$23$ 交换数位后是 $32$；$45$ 交换数位后是 $54$。
(2) 证明：设一个任意的两位数，它的个位数字为 $y$，十位数字为 $x$（$x, y$ 均为正整数且 $1 \le x \le 9, 0 \le y \le 9$）。
则这个两位数可以表示为：$10x + y$。
它的“友好数”即个位变为 $x$，十位变为 $y$ 的两位数，可表示为：$10y + x$。
这两个数的和为：
$(10x + y) + (10y + x)$
$= 10x + y + 10y + x$
$= 11x + 11y$
$= 11(x+y)$
因为 $x, y$ 都是整数，所以 $(x+y)$ 也是整数，
说明它们的和含有因数 11。
因此，这个数与它的“友好数”之和一定能被 11 整除。